算法导论一-算法分析

一,插入排序: 插入的定义排序简单来说,就是把待排序值通过比较交换的方式插入到已排序的列表中。

  • 找了个比较形象的图:
    《算法导论一-算法分析》
  • 一个简单的例子:
#如待排列表为: [3,4,1,2,4,5]
#由于第一个是排好序的,因此我们从第二个开始比较。
#第一次排序结果:  [3,4,1,2,4,5]
#第二次排序结果:  [1,3,4,2,4,5] 。
#得到第二次结果的数据移动情况: [3,4,1,2,4,5]  => [3,1,4,2,4,5] =>[1,3,4,2,4,5] =>结束第二次
#第三次排序结果: [1,2,3,4,4,5] 
#得到第三次结果的数据移动情况:[1,3,4,2,4,5]  = [1,3,2,4,4,5] => [1,2,3,4,4,5]  => [1,2,3,4,4,5]
#第四次排序结果: [1,2,3,4,4,5] 
#得到第四次结果的数据移动情况: [1,2,3,4,4,5]  =>  [1,2,3,4,4,5] 
#第五次排序结果: [1,2,3,4,4,5]
#得到第四次结果的数据移动情况: [1,2,3,4,4,5]  =>  [1,2,3,4,4,5] 
  • 根据定义,可以简单写出代码:
public void insertSort(int arr[]){
	for(int i=1;i<arr.length;i++){ //外层控制开始排第几个。
		for(int j=i; j>0 && arr[j]< arr[j-1];j--){  //内层控制比较和交换。
			int tmp = arr[j-1];
			arr[j-1] = arr[j];
			arr[j] = arr[j-1]; 
		}
	}
}

二,算法的运行时间. 考虑上面插入算法的例子:

  • 给定的数据。如,对于上面的例子,排好序的序列会相对快,最差的则是逆序;
  • 数据的规模。如,排10个和100000000个时间明显不同。我们在算法中,一般将输入的规模参数化,将运行时间看做规模的函数。
  • 运行时间的上界。在最坏的给定数据下,运行时间与数据规模的函数关系,以此我们才能做出保证,这也是算法最关注的分析。

三,算法分析 T(n)

  • 最长时长,T(n) = max time on any input of size n.
  • 平均时长(期望时长) T(n)= 输入规模n下所有可能输入的期望时间,即所有可能出现的n*出现的概率相加取平均值(加权平均),一般我们假设所有输入等可能出现。
  • 最好情况(假象):只对特定输入有效,一般不考虑。

四,渐进分析:关注运行时间的增长速度,忽略依赖于机器的常量,弃去低阶项,只关注最高阶。因为当n足够大时,最终是由最高阶影响其增长速度。渐进符号θ。

  • 如: 3n³+2n²+5n+100 = θ(n³)

五,继续分析插入排序

  • 最坏情况:即逆序情况,把交换移动看做常数项,只关注循环次数。可以发现,i=2时,j一次; i=3时, j 两次。可以得到如下(即等差数列的和):
    T(n) = 1+2+3+…(n-1) = θ(n²)
  • 对于小n,速度比较快,但是增长很快。

六,归并排序 将已经排序的序列合并成一个序列的操作。归并排序算法依赖归并操作。

  • 归并,简单来说,两个排序序列,每次取其最小的值,写到第三个序列中,最好得到的序列也是排好序,并且是原先两个序列的合并。
  • 可以发现,归并操作是一个线性时间。完全遍历两个序列即可。
  • 时间: T(n) = 分解的子序列和+合并子序列时间<线性>。 即 T(n) = 2T(n/2) + θ(n)
  • 找了一个比较形象的图:《算法导论一-算法分析》
  • 可以看到,首先是向下分解,是常数时间。然后向上归并,可以发现,每层都要遍历n个数,即每一层都需要线性时间。那么总时间为: 层数*n .
  • 那么到底有多少层。log n 层。我们可以看到,序列数每次其实都在2分,即, 2 的x 次方要大于等于n。要求x,这里是取以2为底,n的对数。即 log n.
  • 因此归并排序 T(n) = θ(n log n) , 这个在n比较大时远小于 n²
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