重温AVL树

我们上篇的文章介绍过什么叫平衡二叉树，以及我们是怎么样实现二叉树的平衡的。其中AVL树就是其中的一种算法。现在回顾一下，我们说过导致树不平衡的插入方式有四种。现在我们用实例来说明，假设你要创建一个BST，其中里面的元素是元素周期表中的元素。

现在按照元素周期表的顺序建立平衡二叉搜索树。我们先插入第一个元素H，这很简单，因为一开始树为空。接下来我们调用之前我们写过的addNode函数，向里面插入我们的He元素，因为He元素在H元素的后面，所以插入的结果如下：

为了追踪所得的树是否为平衡树，AVL算法为每一个节点与某一个整数相关联，且这个整数的值为右子树的高度减去左子树的高度。这个值称为该节点的平衡因子（the balance factor of the node）
所以，对于节点H，右子树高度为1，左子树为0，平衡因子为1 – 0 = 1. 对于节点He来说，左右子树高度都为0，自然平衡因子为0.所以我们把这样的情况用下图表示：

此时，这棵树是平衡的，因为左右子树的高度差小于2（即每个节点中的平衡因子的绝对值 < 2）,那么我们继续往里面插入Li元素，我们查阅周期表我们可以得到Li元素在He元素之后，那么应该这样表示：

此时，根节点不在平衡，因为它的右子树的高度为2，左子树高度为0.因此我们需要重构此树使得这棵树得以平衡。此时我们将He作为新的根节点，H作为左孩子，Li作为右孩子，得到下图就平衡了：

那么，问题来了，你怎么知道，或者说你怎么知道这样的操作就能使得原本不平衡的树变得平衡呢？

单侧旋转

如果你认真看看上图的变换，就能发现，中间的He元素往上升高，变成新的根节点。而H元素想做下降称为He的左孩子，Li不动。

参与旋转操作的两个节点称为旋转的轴。 在由元素H，He和Li组成的示例中，围绕H-He轴执行旋转。 由于此操作将节点向左移动，因此此图所示的操作称为左旋转（left rotation）。 如果树在相反方向上（即左边）不平衡，则可以应用称为右旋的对称操作，其中所有操作都简单地反过来过来。 例如，接下来的两个元素的符号（Be和B）分别被添加到树的左边。 要重新平衡树，必须围绕Be-H轴执行右旋，如下图所示：

因此，单侧旋转可以记为，左侧右旋，右侧左旋。

双侧旋转

然而，单侧旋转的操作并不是总能将树重构成平衡二叉树。试想一下，如果我们在上述的树上插入C元素，此时树的状态是这样的：

位于根部的He元素此时失衡，因为平衡因子的绝对值为2，如果此时你利用刚刚所说的单侧旋转，应该旋转He-Be杠杆，那么会得到下面的结果：

旋转之后，所得到的二叉树仍与之前一样处于不平衡的状态，唯一的不同点在于根节点的不平衡状态此时出现在右子树。
为什么会出现这个问题呢？原因在于，参与旋转的节点具有相反符号的平衡因子。当出现这种情况的时候，一次的单侧旋转是不够的，为了解决这个问题，我们必须想办法使得参与旋转的两个节点的平衡因子的符号相同。那么怎么样使得参与旋转的两个节点的平衡因子的符号相同呢？很简单，我们想想，平衡因子的符号取决于右子树的高度减去左子树的高度，如果左右子树通过旋转对调，那么平衡因子的符号也相应取相反数。 因此在旋转不平衡节点之前，沿相反方向旋转其子节点。 这个操作让参与旋转的父母和孩子的平衡因素相同的符号，这也就意味着第二次旋转将会成功。所以实际上是进行两次单侧旋转。
以上图刚刚插入C元素为例子，我们可以看到，He元素的平衡因子与Be元素的平衡因子符号相反，那么我们就不能直接进行单侧旋转，我们就对Be子树进行调整，使得杠杆的符号一致。具体做法是：沿相反方向旋转其子节点。
本来我们应该对He-Be杠杆进行右旋的，那么我们就对其子节点进行左旋：

此时旋转之后的结果是，这棵树依旧不处于平衡状态，但是我们已经做到了杠杆符号一致，那么此时再进行一次正常的单侧旋转，也就是右旋，得到平衡的二叉树AVL：

因此，双侧旋转要两次旋转，一次调整杠杆符号，一次单侧旋转。

AVL树的特点

在描述这些树的论文中，Adelson-Velskii和Landis展示了他们的树平衡算法的以下特性：

• 如果你向一棵AVL树插入新节点中，则始终可以通过执行至多一次操作来恢复其平衡，该操作可以是单次旋转或双次旋转。
• 完成旋转操作后，旋转轴上子树的高度始终与插入新节点之前的高度相同。 此属性可确保树中任何更高级别的平衡因素都不会发生变化。