好久没更新了，今天来讲二叉树的一个重要应用：二叉搜索树。这次介绍的是平衡二叉树( 也叫AVL 树), 刚开始本来想自己写这篇文章的，书上关于AVL 树这里讲得很复杂( 我是看了半天才看懂) 。好了，废话少说，一起来看吧~
平衡二叉树 (AVL 树 )
这个恐怕是整个《数据结构》教科书里面最难的和最“没用”的数据结构了( 现在的教科书还有部分算法内容) 。说它没用，恰恰是因为它太有用——有着和普通的二叉搜索树完全一样的接口界面，绝大多数情况下比普通的二叉搜索树效率高( 很多) 。因此，通常情况下，人们都是一劳永逸的——写完后就重用，而不会再写了。所以说，你虽然学完了平衡二叉树，但很可能你永远也不会亲自写一个。你现在随便在身边拉个人，让他来写一个，能顺利的写出来的恐怕不多，玩笑之词，且勿当真。
在开始写之前，我很担心，能不能把这部分写清楚，毕竟书上满天的 switch…case ，并且还只是一半——有左旋没有右旋，有插入没有删除。后来，我变得有信心了——因为书上都没有说清楚，都在那里说梦话 。我没有找到 AVL 树的发明者的原著( G. M. Adelson-Velskii and Y. M. Landis . An algorithm for the organization of information . Soviet Math. Dokl., 3:1259–1262, 1962. ) 也不知道我下面所写的是不是体现了发明者的本意 ， 但至少 ， 我认为现在的教科书歪曲了发明者的本意。
基本概念
Ø 平衡
下面的引文出自Algorithms and Data Structures (Niklaus Wirth , Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1986 ISBN: 0-13-022005-1 pp. 215–226 ）
One such definition of balance has been postulated by Adelson-Velskii and Landis [4-1]. The balance criterion is the following:
A tree is balanced if and only if for every node the heights of its two subtrees differ by at most 1.
Trees satisfying this condition are often called AVL-trees (after their inventors). We shall simply call them balanced trees because this balance criterion appears a most suitable one. (Note that all perfectly balanced trees are also AVL-balanced.)
The definition is not only simple, but it also leads to a manageable rebalancing procedure and an average search path length practically identical to that of tbe perfectly balanced tree.
科技文都比较好懂，本人翻译水平比较差，就不献丑了，我只想让大家注意最后一段的画线部分，平衡化应该是易于操作的 ，而绝不是现在你在书上看到的铺天盖地的 switch…case 。
Ø 旋转
平衡化靠的是旋转。参与旋转的是3 个节点( 其中一个可能是外部节点NULL) ，旋转就是把这3 个节点转个位置。注意的是，左旋的时候p->right 一定不为空，右旋的时候p->left 一定不为空，这是显而易见的。
可以看到，左旋确实是在向“ 左” 旋转，还是很形象的。右旋是左旋的镜像，就不再另行说明了。下表是左旋和右旋各个节点的指针变换情况。( 括号表示NULL 的情况不执行)
左旋 | 右旋 | ||
t->parent = p->parent | p->parent = t | t->parent = p->parent | p->parent = t |
(t->left->parent = p) | p->right = t->left | (t->right->parent = p) | p->left = t->right |
t->left = p | p = t | t->right = p | p = t |
Ø 平衡因子 （ bf —— balance factor ）
AVL 树的平衡化靠旋转，而是否需要平衡化，取决于树中是否出现了不平衡。为了避免每次判断平衡时，都求一下左右子树的高度，引入了平衡因子。很可能是1962 年的时候AV&L 没有亲自给出定义，时下里平衡因子的定义乱七八糟——我看了4 本书，两本是bf ＝ 左高－右高，两本是bf ＝ 右高－左高。最有意思的是两本中国人( 严蔚敏和殷人昆) 写的一本左减右，一本右减左；两本外国人写的也是这样。虽然没什么原则上的差别，可苦了中国的莘莘学子们——考试的时候可不管你是哪个门派的。我照顾自己的习惯，下面的bf = 左高－右高，习惯不同的请自己注意。
这样一来，是否需要平衡化的条件就很明了了——|bf| > 1 。如果从空树开始建立，并时刻保持平衡，那么不平衡只会发生在插入删除操作上，而不平衡的标志就是出现bf == 2 或者 bf == -2 的节点。
插入和删除
在AVL 树插入和删除，实际上就是先按照普通二叉搜索树插入和删除，然后再平衡化。可以肯定的说，插入和删除需要的最多平衡化次数不同( 下面会给出根本原因) ，但这不表明插入和删除时的平衡化的思路有很大差别。现有的教科书，仅仅从表面上看到了到了平衡化操作次数不同的假象，而没有从根本上认识到插入和删除对称的本质 ，搞得乱七八糟不说( 铺天盖地的switch…case) ，还严重的误导了读者——以为删除操作复杂的不可捉摸。
AVL 树体现了一种平衡的美感，两种旋转是互为镜像的，插入删除是互为镜像的操作，没理由会有那么大的差别。实际上，平衡化可以统一的这样来操作：
1 ．while (current != NULL) 修改current 的平衡因子。
Ø 插入节点时 current->bf += (current->data > *p)?1:-1;
Ø 删除节点时 current->bf -= (current->data > *p)?1:-1;
Ø current 指向插入节点或者实际删除节点的父节点，这是普通二叉搜索树的插入和删除操作带来的结果。 *p 初始值是插入节点或者实际删除节点的 data 。因为删除操作可能实际删除的不是 data 。
2 ． 判断是否需要平衡化
if (current->bf == -2) L_Balance(c_root); else if (current->bf == 2) R_Balance(c_root);
3 ． 是否要继续向上修改父节点的平衡因子
Ø 插入节点时 if (!current->bf) break; 这时，以 current 为根的子树的高度和插入前的高度相同。
Ø 删除节点时 if (current->bf) break; 这时，以 current 为根的子树的高度和删除前的高度相同
Ø 之所以删除操作需要的平衡化次数多，就是因为平衡化不会增加子树的高度，但是可能会减少子树的高度，在有有可能使树增高的插入操作中，一次平衡化能抵消掉增高；在有可能使树减低的删除操作中，平衡化可能会带来祖先节点的不平衡 。
4 ． 当前节点移动到父节点，转 1
p = &(current->data); current = current->parent;
完整的插入删除函数如下：
bool
insert(
const
T
&
data) {
if
(
!
BSTree
<
T
>
::insert(data))
return
false
;
const
T
*
p
=
&
data;
while
(current) {
current
->
bf
+=
(current
->
data
>
*
p)
?
1
:
–
1
;
if
(current
->
bf
==
–
2
) L_Balance(c_root);
else
if
(current
->
bf
==
2
) R_Balance(c_root);
if
(
!
current
->
bf)
break
;
p
=
&
(current
->
data);
current
=
current
->
parent;
}
return
true
;
}
bool
remove(
const
T
&
data) {
if
(
!
BSTree
<
T
>
::remove(data))
return
false
;
const
T
*
p
=
&
r_r_data;
//
在class BSTree里添加proteceted: T r_r_data，
//
在BSTree<T>::remove(const T &data)
//
里修改为实际删除的节点的data
while
(current) {
current
->
bf
-=
(current
->
data
>
*
p)
?
1
:
–
1
;
if
(current
->
bf
==
–
2
) L_Balance(c_root);
else
if
(current
->
bf
==
2
) R_Balance(c_root);
if
(current
->
bf)
break
;
p
=
&
(current
->
data);
current
=
current
->
parent;
}
return
true
;
}
你可以看到，他们是多么的对称。
平衡化
显然的，平衡化后的子树应该是平衡的，以此为原则，很容易得知在各种情况下应该怎么旋转。
private
:
void
L_Balance(BTNode
<
T
>*
&
p) {
if
(p
->
right
->
bf
==
1
) R_Rotate(p
->
right);
L_Rotate(p); current
=
p;
}
void
R_Balance(BTNode
<
T
>*
&
p) {
if
(p
->
left
->
bf
==
–
1
) L_Rotate(p
->
left);
R_Rotate(p);
current
=
p;
}
他们也是对称的。
修改平衡因子
这是整个AVL 树能运转的核心，现在的教科书，也正是因为没有真正弄明白如何修改平衡因子，才搞的switch…case 满天飞。平衡因子的变化发生在旋转中——正因为这样，旋转才能有平衡化的作用——所以，应该把修改平衡因子的工作放在旋转操作中，而不是放在平衡化中。让我们来看看可能的旋转会带来的平衡因子变化的情况：
左旋（旋转后p 暂时没有改变） | 右旋（旋转后p 暂时没有改变） | ||||||
旋转前p | 旋转前t | 旋转后p | 旋转后t | 旋转前p | 旋转前t | 旋转后p | 旋转后t |
－2 | 0 | －1 | 1 | 2 | 0 | 1 | －1 |
－2 | －1 | 0 | 0 | 2 | 1 | 0 | 0 |
－2 | －2 | 1 | 0 | 2 | 2 | －1 | 0 |
－1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | －1 |
－1 | －1 | 1 | 1 | 1 | 1 | －1 | －1 |
－1 | 1 | 0 | 2 | 1 | －1 | 0 | －2 |
旋转的最初发生是因为bf==2 或bf== －2 ，对bf==1 或者bf==-1 的旋转是为了平衡化的需要——平衡化时的旋转p 和t 的bf 不能异号。表面看起来这张表很凌乱，似乎没什么规律，其实不然。
对于左旋——p 的右子树从t 变成了t 的左子树，显然p 的右子树高度至少减1 。t 的bf 代表了原来的t 左右子树的高度差，如果t->bf<0 ，则p 的右子树的高度还要减少|t->bf| 。t 的左子树在原来的左子树上面又多了一个p ，显然左子树高度至少加1 。在p 的平衡因子修改完之后，如果p->bf>0 那么t 的左子树高度还要增加p->bf 。
综合起来就是++(p->bf) -= t->bf < 0 ? t->bf : 0; ++(t->bf) += p->bf > 0 ? p->bf : 0;
对于右旋同理–(p->bf) -= t->bf > 0 ? t->bf : 0; –(t->bf) += p->bf < 0 ? p->bf : 0;
可以看到这也是对称的。
完整的AVL 树实现
#define
c_p current->parent
#define
c_root (c_p?((c_p->left == current)?c_p->left:c_p->right):root)
#include
“
BSTree.h
“
template
<
class
T
>
class
AVLTree :
public
BSTree
<
T
>
{
public
:
bool
insert(
const
T
&
data) {
if
(
!
BSTree
<
T
>
::insert(data))
return
false
;
const
T
*
p
=
&
data;
while
(current) {
current
->
bf
+=
(current
->
data
>
*
p)
?
1
:
–
1
;
if
(current
->
bf
==
–
2
) L_Balance(c_root);
else
if
(current
->
bf
==
2
) R_Balance(c_root);
if
(
!
current
->
bf)
break
;
p
=
&
(current
->
data);
current
=
current
->
parent;
}
return
true
;
}
bool
remove(
const
T
&
data) {
if
(
!
BSTree
<
T
>
::remove(data))
return
false
;
const
T
*
p
=
&
r_r_data;
while
(current) {
current
->
bf
-=
(current
->
data
>
*
p)
?
1
:
–
1
;
if
(current
->
bf
==
–
2
) L_Balance(c_root);
else
if
(current
->
bf
==
2
) R_Balance(c_root);
if
(current
->
bf)
break
;
p
=
&
(current
->
data);
current
=
current
->
parent;
}
return
true
;
}
private
:
void
L_Balance(BTNode
<
T
>*
&
p) {
if
(p
->
right
->
bf
==
1
) R_Rotate(p
->
right);
L_Rotate(p);
current
=
p;
}
void
R_Balance(BTNode
<
T
>*
&
p) {
if
(p
->
left
->
bf
==
–
1
) L_Rotate(p
->
left);
R_Rotate(p);
current
=
p;
}
void
L_Rotate(BTNode
<
T
>*
&
p) {
BTNode
<
T
>*
t
=
p
->
right;
t
->
parent
=
p
->
parent;
p
->
parent
=
t;
p
->
right
=
t
->
left;
if
(t
->
left) t
->
left
->
parent
=
p;
t
->
left
=
p;
++
(p
->
bf)
-=
t
->
bf
<
0
?
t
->
bf :
0
;
++
(t
->
bf)
+=
p
->
bf
>
0
?
p
->
bf :
0
;
p
=
t;
}
void
R_Rotate(BTNode
<
T
>*
&
p) {
BTNode
<
T
>*
t
=
p
->
left;
t
->
parent
=
p
->
parent;
p
->
parent
=
t;
p
->
left
=
t
->
right;
if
(t
->
right) t
->
right
->
parent
=
p;
t
->
right
=
p;
—
(p
->
bf)
-=
t
->
bf
>
0
?
t
->
bf :
0
;
—
(t
->
bf)
+=
p
->
bf
<
0
?
p
->
bf :
0
;
p
=
t;
}
};
总结与启示
AVL 树是个平衡的二叉树，使用对称的旋转来维持平衡，这也注定了对于它的其他操作也应该是对称的。但由于它不是很完美，因此插入和删除对外表现不那么对称（插入时一次平衡化就能平衡，删除时最坏的情况能一直调整到树根O(logN) ），但他们内在的本质应该是对称的，正如上面给出的——所有的操作都是对称的。
促使我仔细的研究插入和删除的对称性，是出于我认定AVL 树操作是对称的 这一信念。这反映了一个人的哲学修养，我不想在此多谈哲学对于一个人的重要性，只是为那些认为马哲、毛概毫无用处的人惋惜。
本篇文章转自：数据结构学习（C++）——平衡二叉树（AVL树）
