之前讨论过BST树，BST树不是一种平衡树，什么叫平衡树呢？ 所谓的平衡指的是一棵树的左右两棵子树的高度差，如果高度差小于等于1，我们就认为是平衡的，否则就是不平衡的，试想一下，如果按顺序插入1,2,3,4,5,6,7这么几个数的话，就会构造出一棵右倾的BST树，所有的子节点都是其父节点的右孩子，这样的BST的搜索查找性能就被退化成线性的了。所以树的平衡性是衡量一棵树的最重要的指标。

平衡的BST树有很多不同的算法来实现，其中最著名的是所谓的AVL树，所以AVL树就是一种平衡二叉搜索树，下面来讨论它。

怎么维持一棵树的平衡呢？ 根据定义，平衡就是要维持任意一棵树中的子树高度差小于等于1，我们在设计节点的时候，增加一个成员：树的高度。代码如下：

typedef struct _tree_node
{
	tn_datatype data;
	struct _tree_node *lchild;
	struct _tree_node *rchild;

#ifdef BALANCE_FACTOR
	int bf; // for AVL
#endif

}treenode, *linktree;

节点设计中，除了有左右孩子指针之外，增加了一个bf成员，这个成员一般被称为平衡因子，其实就是记录以该节点为根节点的子树的高度。

一棵树怎么会失去平衡呢？请看：

上图是一个典型的插入一个节点导致BST树失去平衡的例子，在框框中的子树里，对于根节点10来说，其左右子树的高度差已经达到2了，因此根据定义这不是一棵平衡树了，为了让一棵树保持平衡，我们首先总结所有出现不平衡的情况，再来看如何针对每一种情况使得二叉树重新得到平衡。

那么插入节点之后失去平衡的情况是怎么样的呢？ 其实，情况总结起来只有两种，细分为四种，一图顶万言：

对于一棵二叉树，插入一个节点（黑色的新节点）导致不平衡的情况就是上图所示的四种情况，四种情况是对称的，所以只要理解了LL不平衡和LR不平衡，那么RR不平衡和RL不平衡都是一样的。

所谓的L（左）不平衡指的是，在插入之前，根节点（注意，树中的任意一个节点都可以是根节点，根节点是相对的）的左右子树高度差已经是1了（左子树高度 – 右子树高度），于是插入一个节点到红色根节点的左子树后，其左右子树的高度差就可能达到2。如果左右子树高度差确实达到2，那么情况分为两种：

第一，插入的节点比其左子树的根节点小引起的不平衡，叫做LL不平衡，LL就是Left-Left，也就是说这种不平衡是由左边的子树的左子树高度增加导致的，请对照图看。

第二，插入的节点比其左子树的根节点大引起的不平衡，叫做LR不平衡，LL就是Left-Right，也就是说这种不平衡是由左边的子树的右子树高度增加导致的，请对照图看。

对称地，对于R（右）不平衡来说，也分为RR不平衡和RL不平衡，就是插入的节点在根节点的右子树的右边，和插入的节点在根节点的右子树的左边。

下面来讨论如何重新平衡二叉搜索树，我们一个一个来看，先来看看LL不平衡：

从图可以看到，对于LL不平衡，我们只需要对发生不平衡的根节点（红色节点）进行一次“右旋转”即可，旋转之后，二叉树重新保持了平衡，而且红，白，黑三个节点的大小关系仍然保持，不会破坏二叉搜索树的定义。

那么这个所谓的右旋转是怎么实现的呢？？看清楚一点你会发现，其实很简单，就修改两个指针即可，下图是更详细的右旋过程解剖图：

上图是所谓的右旋转的操作详解，对于一棵发生了LL不平衡的BST树来说，只需要针对根节点进行右旋，就可以恢复平衡。这个右旋转的操作代码如下：

linktree right_rotate(linktree root)
{
	linktree p = root->lchild; // 使得 p 指向root的左孩子
	root->lchild = p->rchild; // 使得root的左孩子指针指向p的右孩子，上图1
	p->rchild = root; // 使得p的右孩子指针指向root，上图2
        // 下面是平衡因子（即树的高度）的重新计算
	root->bf = MAX(height(root->lchild), height(root->rchild)) + 1;
	p->bf = MAX(height(p->lchild), root->bf) + 1;

	return p;
}

对于上面的代码，第3,4,5行已经很明白了，第7,8行是平衡因子的重新计算，所谓的平衡因子就是一棵树的高度，我们将一棵树的高度（即深度）记录在其根节点中，那么当我们要衡量一棵树是否发生不平衡的时候就很方便了，只需要比较左右子树高度差是否小于等于1即可），那么一棵树的高度是多少呢？答案是：一棵树的高度，等于其左右子树的高度的最大值，再加1,（加上自己本身的高度）。

其中函数 height() 用来求一棵树的高度，代码如下：

int height(linktree root)
{
	return (root == NULL) ? 0 : root->bf; // 假如root是空树，那么高度为0，否则直接返回bf（bf就是树的高度）
}

而对于发生了RR不平衡的情况，对称地我们要进行左旋转，情况如下：

详细的左旋转步骤，跟右旋转是严格对称的：

其代码如下：

linktree left_rotate(linktree root)
{
	linktree p = root->rchild;
	root->rchild = p->lchild;
	p->lchild = root;

	root->bf = MAX(height(root->lchild), height(root->rchild)) + 1;
	p->bf = MAX(root->bf, height(p->rchild)) + 1;

	return p;
}

其实，旋转操作是二叉树的基本操作。弄懂了左旋转和右旋转之后，我们就可以很简单地解决所谓的LR不平衡和RL不平衡了，先来看LR不平衡，这种不平衡是由于插入的节点比左子树的根节点大而导致的，对于这种情况，我们如何恢复平衡呢？ 请看下图：

对于LR不平衡，我们要进行两次旋转，第一次，从图2到图3，对发生LR不平衡的根节点的左子树节点进行左旋转，然后得到图4，其实图4的情况就是LL不平衡，此时根据上面的叙述，只需要对根节点进行右旋转即可，得到图5.   这时，红，白，黑三个节点的大小关系仍满足搜索树的特性，同时恢复了平衡。

其实现代码更简单，由于左旋转和右旋转已经实现了，这个操作其实就是左右旋转的结合而已：

linktree left_right_rotate(linktree root)
{
	root->lchild = left_rotate(root->lchild);
	return right_rotate(root);
}

完全对称地，所谓的RL不平衡，我们也要经过两次的旋转，将其重新平衡：

其代码如下：

linktree right_left_rotate(linktree root)
{
	root->rchild = right_rotate(root->rchild); // 对其右子树进行右旋转，上图2
	return left_rotate(root); // 对根节点进行左旋转，上图4
}

上面费了那么大劲儿讲完AVL树的基本操作：左旋，右旋，左右旋和右左旋之后，可以来讨论其《插入》操作了。

AVL树本身就是一棵二叉搜索树，所以其插入操作跟BST树是很类似的，具体的思路如下：

1，按照BST树的插入算法，插入一个节点。

2，插入节点之后，判断树的平衡是否遭到破坏。（判断左右子树高度差）

3，如果确实发生了不平衡，确定是哪一种（上面所述四种之一：LL不平衡，RR不平衡，LR不平衡，RL不平衡）

4，针对发生的不平衡，采用响应的旋转来恢复平衡。

下面是代码：

linktree AVL_insert(linktree root, tn_datatype data)
{
	// 以下是BST树的插入算法
	if(root == NULL)
		return new_node(data, NULL, NULL);

	if(data < root->data)
		root->lchild = AVL_insert(root->lchild, data);
	else if(data > root->data)
		root->rchild = AVL_insert(root->rchild, data);
	else
	{
		printf("%d is already exist.\n", data);
	}


	// 以下是有别于BST树的额外的操作
	if(height(root->lchild) - height(root->rchild) == 2) // 发生左不平衡，下面进一步确认不平衡类型
	{
		if(data < root->lchild->data) // LL不平衡，使用右旋转
			root = right_rotate(root);
		else if(data > root->lchild->data) //LR不平衡，使用左旋转
			root = left_rotate(root);
	}
	else if(height(root->rchild) - height(root->lchild) == 2)
	{
		if(data > root->rchild->data)
			root = left_rotate(root);
		else if(data < root->rchild->data)
			root = right_rotate(root);
	}

	root->bf = MAX(height(root->lchild), height(root->rchild)) + 1;
	return root;
}

AVL树的删除更加复杂一点，留到下一节介绍。