在计算机科学中，AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O（log n）。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。AVL树得名于它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis，他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。

节点的平衡因子是它的左子树的高度减去它的右子树的高度（有时相反）。带有平衡因子1、0或 -1的节点被认为是平衡的。带有平衡因子 -2或2的节点被认为是不平衡的，并需要重新平衡这个树。平衡因子可以直接存储在每个节点中，或从可能存储在节点中的子树高度计算出来。

AVL树的基本操作一般涉及运作同在不平衡的二叉查找树所运作的同样的算法。但是要进行预先或随后做一次或多次所谓的”AVL旋转”。

以下图表以四列表示四种情况，每行表示在该种情况下要进行的操作。在左左和右右的情况下，只需要进行一次旋转操作；在左右和右左的情况下，需要进行两次旋转操作。

插入

向AVL树插入，可以透过如同它是未平衡的二叉查找树一样，把给定的值插入树中，接着自底往上向根节点折回，于在插入期间成为不平衡的所有节点上进行旋转来完成。因为折回到根节点的路途上最多有1.44乘log n个节点，而每次AVL旋转都耗费固定的时间，所以插入处理在整体上的耗费为O(log n) 时间。

我自己的实现代码：

包括（插入，删除，判断）

也可以查看github链接：

https://github.com/HandsomeBoby/AVLTree/blob/master/AVLTree.h

#include<iostream>

using namespace std;


template<class K, class V>
struct AVLTreeNode //节点结构
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent; //父节点
	K _key;
	V _value;
	int _bf; // 平衡因子：右子树与左子树的高度差

	AVLTreeNode(const K& key, const V& value)
		:_left(NULL)
		, _right(NULL)
		, _parent(NULL)
		, _key(key)
		, _value(value)
		, _bf(0)
	{}
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	//构造函数
	AVLTree()
		:_root(NULL)
	{}
	
	//插入

	bool Insert(const K& key, const V& value)
	{
		if (_root == NULL)
		{
			_root = new Node(key, value);
			return true;
		}
		//先把节点插入对应的位置
		//调整树的结构，使树平衡
		//更新平衡因子
		Node* parent = NULL;
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{
			if (key < cur->_key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (key > cur->_key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(key, value);

		if (key < parent->_key)
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}

		
		// 如果平衡因子在-1~1 之间，继续向上更新
		while (parent)
		{
			
			if (cur == parent->_left)
				parent->_bf--;
			else
				parent->_bf++;

			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
			{
				
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}

			// -2 或 +2 的情况 不满足平衡条件 进行旋转
			else 
			{
				if (parent->_bf == 2)
				{
					if (cur->_bf == 1) // 左单旋
					{
						_RotateL(parent);
					}
					else // -1   右左双旋
					{
						_RotateRL(parent);
					}
				}

				// parent == -2
				else 
				{
					if (cur->_bf == -1) // 右单旋
					{
						_RotateR(parent);
					}
					else // cur = 1  左右双旋
					{
						_RotateLR(parent);
					}
				}

				break;
			}
		}

		return true;

	}

	//查找
	Node* Find(const K& key)
	{
		return _Find(_root, key);
	}

	//树的高度
	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

	// 检查是否是 平衡二叉树
	bool IsBalance() 
	{
		return _IsBalance(_root);
	}

	//输出
	void PrintAVLTree()
	{
		_PrintAVLTree(_root);
		cout << endl;
	}

protected:
	Node* _Find(Node* root, const K& key)
	{
		if (root == NULL)
		{
			return NULL;
		}

		if (key < root->_key)
		{
			return _Find(root->_left, key);
		}
		else if (key > root->_key)
		{
			return _Find(root->_right, key);
		}
		else
		{
			return root;
		}
	}

	void _RotateL(Node* parent) // 左单旋转
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;
		Node* pp = parent->_parent;
		subR->_parent = pp;
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (pp) // 不是根节点
		{
			if (pp->_left == parent)
			{
				pp->_left = subR;
			}
			else
			{
				pp->_right = subR;
			}
		}
		else
		{
			_root = subR;
		}

		// 更新平衡因子 
		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}

	void _RotateR(Node* parent) // 右单旋转
	{
		Node* SubL = parent->_left;
		Node* SubLR = SubL->_right;
		Node* pp = parent->_parent;

		parent->_left = SubLR;
		if (SubLR)
		{
			SubLR->_parent = parent;
		}
		SubL->_right = parent;
		parent->_parent = SubL;
		SubL->_parent = pp;

		if (pp) // 判断是否为根节点
		{
			if (parent == pp->_left)
			{
				pp->_left = SubL;
			}
			else
			{
				pp->_right = SubL;
			}
		}
		else
		{
			_root = SubL;
		}


		// 更新平衡因子 
		parent->_bf = SubL->_bf = 0;

	}

	void _RotateLR(Node* parent) // 左右旋转
	{
		// 记录结点指针 后面修正 平衡因子
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		_RotateL(parent->_left);
		_RotateR(parent);

		// 根据subLR的平衡因子修正其他结点的平衡因子
		if (bf == -1)
		{
			//subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subL->_bf = -1;
			//parent->_bf = 0;
		}
	}

	void _RotateRL(Node* parent) // 右左旋转
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
		
		_RotateR(parent->_right);
		_RotateL(parent);

		// 修正平衡因子
		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subR->_bf = 1;
		}
	}

	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == NULL)
		{
			return 0;
		}

		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);

		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}

	bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == NULL)
		{
			return true;
		}

		int left = _Height(root->_left);
		int right = _Height(root->_right);

		if (right - left != root->_bf || abs(right - left) > 1)
		{
			cout << "结点的平衡因子有问题：" << root->_key << endl;
			return false;
		}

		return _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right);
	}

	void _PrintAVLTree(Node* root)
	{
		if (root == NULL)
		{
			return;
		}

		_PrintAVLTree(root->_left);
		cout << root->_key << "  ";
		_PrintAVLTree(root->_right);
	}

protected:
	Node* _root;
};