数据结构——AVL树

         AVL树是最早提出的自平衡二叉树,在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一,即|HL-HR|<=1,所以它也被称为高度平衡树。AVL树得名于它的发明者G.M. Adelson-VelskyE.M. Landis,他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。

       AVL树中查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(log n),增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。确定并删除标识符为x的元素、及确定并删除第k个最小元素都可以在O(log n)时间内完成。

       有四种插入方式会打破树的平衡:

(1)LL:插入一个新节点到根节点的左子树(Left)的左子树(Left),导致根节点的平衡因子由1变为2

(2)RR:插入一个新节点到根节点的右子树(Right)的右子树(Right),导致根节点的平衡因子由-1变为-2

(3)LR:插入一个新节点到根节点的左子树(Left)的右子树(Right),导致根节点的平衡因子由1变为2

(4)RL:插入一个新节点到根节点的右子树(Right)的左子树(Left),导致根节点的平衡因子由-1变为-2

 针对四种种情况可能导致的不平衡,可以通过旋转使之变平衡。有两种基本的旋转:

(1)左旋转:将根节点旋转到(根节点的)右孩子的左孩子位置

(2)右旋转:将根节点旋转到(根节点的)左孩子的右孩子位置

注意:旋转需要保证的是该数的中序遍历节点的顺序不变!

基本的数据结构:

typedef struct BSTNode
{
	int data;
	int bf; //结点的平衡因子
	struct BSTNode *lchild,*rchild;//左、右孩子指针
}BSTNode,*BSTree;

右旋转:

《数据结构——AVL树》

《数据结构——AVL树》

代码如下:

//对以*p为根的二叉排序树作右旋处理,LL型平衡旋转法
void R_Rotate(BSTree &p)
{
	BSTree lc;
	lc = p->lchild; //lc指向的*p左子树根结点
	p->lchild = lc->rchild; //lc的右子树挂接为*p的左子树
	lc->rchild = p;
	p = lc; //p指向新的结点
}

左旋转:

《数据结构——AVL树》

《数据结构——AVL树》

代码如下:

//对以*p为根的二叉排序树作左旋处理,RR型平衡旋转法
void L_Rotate(BSTree &p)
{
	BSTree rc;
	rc = p->rchild; //rc指向的*p右子树根结点
	p->rchild = rc->lchild; //rc的左子树挂接为*p的右子树
	rc->lchild = p;
	p = rc; //p指向新的结点
}

先左旋、后右旋:

《数据结构——AVL树》

《数据结构——AVL树》

代码如下:

//对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理,LR型平衡旋转法
void LeftBalance(BSTree &T)
{
	BSTree lc,rd;
	lc = T->lchild; //lc指向*T的左子树根结点
	switch(lc->bf) //检查*T的左子树的平衡度,并作相应平衡处理
	{
	case LH: //新结点插入在*T的左孩子的左子树上,要作单右旋处理
		T->bf = lc->bf = EH;
		R_Rotate(T); break;
	case RH: //新结点插入在*T的左孩子的右子树上,要作双旋处理
		rd = lc->rchild; //rd指向*T的左孩子的右子树根
		switch(rd->bf) //修改*T及其左孩子的平衡因子
		{
		case LH:T->bf = RH; lc->bf = EH; break;
		case EH:T->bf = lc->bf = EH; break;
		case RH:T->bf = EH; lc->bf = LH; break;
		}
		rd->bf = EH;
		L_Rotate(T->lchild); //对*T的左子树作左旋平衡处理
		R_Rotate(T); //对*T作右旋平衡处理
	}
}

先右旋转后左旋转
同上。

插入操作:就是在不同情况下采用旋转方式调整AVL树的平衡

代码如下:

//插入结点e,若T中不存在和e相同关键字的结点,则插入一个数据元素为e的新结点,并返回1,否则返回0
bool InsertAVL(BSTree &T,int e,bool &taller)
{
	if(!T)//插入新结点,树"长高",置taller为true
	{
		T = (BSTree)malloc(sizeof(BSTNode));
		T->data = e;
		T->lchild = T->rchild =NULL;
		T->bf = EH; taller = true;
	}
	else
	{
		if(EQ(e,T->data)) //树中已存在和有相同关键字的结点则不再插入
		{
			taller = false;
			printf("The node have already exist!\n");
			return 0;
		}
		if(LT(e,T->data)) //应继续在*T的左子树中进行搜索
		{
			if(!InsertAVL(T->lchild,e,taller))
				return 0;//未插入
			if(taller) //已插入到*T的左子树中且左子树"长高"
			{
				switch(T->bf) //检查*T的平衡度
				{
				case LH: //原本左子树比右子树高,需要作左平衡处理
					LeftBalance(T);
					taller = false; break;
				case EH: //原本左子树、右子等高,现因左子树增高而使树增高
					T->bf = LH;
					taller = true; break;
				case RH: //原本右子树比左子树高,现左、右子树等高
					T->bf = EH;
					taller = false; break;
				}
			}
		}
		else //应继续在*T的右子树中进行搜索
		{
			if(!InsertAVL(T->rchild,e,taller))
				return 0;//未插入
			if(taller) //已插入到*T的右子树中且右子树"长高"
			{
				switch(T->bf) //检查*T的平衡度
				{
				case LH: //原本左子树比右子树高,现左、右子树等高
					T->bf = EH; taller = false; break;
				case EH: //原本左子树、右子等高,现因右子树增高而使树增高
					T->bf = RH; taller = true; break;
				case RH: //原本右子树比左子树高,需要作右平衡处理
					RightBalance(T); taller = false; break;
				}
			}
		}
	}
	return 1;
}//InsertAVL

删除操作:首先定位要删除的节点,然后用该节点的右孩子的最左孩子替换该节点,并重新调整以该节点为根的子树为AVL树,具体调整方法跟插入数据类似。

代码如下:
删除节点时左平衡旋转操作处理:

//删除结点时左平衡旋转处理
void LeftBalance_div(BSTree &p,int &shorter)
{
	BSTree p1,p2;
	if(p->bf==1) //p结点的左子树高,删除结点后p的bf减1,树变矮
	{
		p->bf=0; shorter=1;
	}
	else if(p->bf==0)//p结点左、右子树等高,删除结点后p的bf减1,树高不变
	{
		p->bf=-1; shorter=0;
	}
	else //p结点的右子树高
	{
		p1=p->rchild;//p1指向p的右子树
		if(p1->bf==0)//p1结点左、右子树等高,删除结点后p的bf为-2,进行左旋处理,树高不变
		{
			L_Rotate(p);
			p1->bf=1;
			p->bf=-1;
			shorter=0;
		}
		else if(p1->bf==-1)//p1的右子树高,左旋处理后,树变矮
		{
			L_Rotate(p);
			p1->bf=p->bf=0; shorter=1;
		}
		else //p1的左子树高,进行双旋处理(先右旋后左旋),树变矮
		{
			p2=p1->lchild;
			p1->lchild=p2->rchild; p2->rchild=p1; p->rchild=p2->lchild; p2->lchild=p;
			if(p2->bf==0)
			{
				p->bf=0; p1->bf=0;
			}
			else if(p2->bf==-1)
			{
				p->bf=1;p1->bf=0;
			}
			else
			{
				p->bf=0;
				p1->bf=-1;
			}
			p2->bf=0;
			p=p2;
			shorter=1;
		}
	}
}

删除节点时右旋转操作处理:

//删除结点时右平衡旋转处理
void RightBalance_div(BSTree &p,int &shorter)
{
	BSTree p1,p2;
	if(p->bf==-1)
	{
		p->bf=0; shorter=1;
	}
	else if(p->bf==0)
	{
		p->bf=1; shorter=0;
	}
	else
	{
		p1=p->lchild;
		if(p1->bf==0)
		{
			R_Rotate(p);
			p1->bf=-1; p->bf=1; shorter=0;
		}
		else if(p1->bf==1)
		{
			R_Rotate(p);
			p1->bf=p->bf=0; shorter=1;
		}
		else
		{
			p2=p1->rchild;
			p1->rchild=p2->lchild; p2->lchild=p1; p->lchild=p2->rchild; p2->rchild=p;
			if(p2->bf==0)
			{
				p->bf=0;
				p1->bf=0;
			}
			else if(p2->bf==1)
			{
				p->bf=-1;
				p1->bf=0;
			}
			else
			{
				p->bf=0; p1->bf=1;
			}
			p2->bf=0; p=p2; shorter=1;
		}
	}
}



代码已上传,可下载:http://download.csdn.net/detail/xiaqunfeng123/7217297

参考资料:
http://zh.wikipedia.org/wiki/AVL%E6%A0%91

            
http://dongxicheng.org/structure/avl/ 部分图片来源:
http://blog.csdn.net/jkay_wong/article/details/6676488

    原文作者:AVL树
    原文地址: https://blog.csdn.net/xiaqunfeng123/article/details/24093379
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