一：AVL树
平衡树（Balanced Tree）：最坏情况下的高度为O(logn）的树。如果搜索树的高度总是O(logn)，那么查找、插入和删除的时间为O(logn)。
AVL树：一种平衡树，由Adelson-Velskii和Landis提出，以他们名字命名。左右子树都是AVL树，左右子树的高度差不超过1。
AVL搜索树：既是二叉搜索树，也是AVL树。
索引AVL搜索树：既是索引二叉树，也是AVL树。
二叉搜索树的介绍见：https://blog.csdn.net/zhao_h/article/details/79674487
二：AVL树的特征
1.一棵n个元素的AVL树，其高度是O(logn)；
2.对于每一个n，n>=0，都存在一棵AVL树；
3.对每一棵n个元素的AVL搜索树，在O(高度)=O(logn)的时间内可以实现查找；
4.将一个新元素插入一棵n元素的AVL搜索树中，可以得到一棵n+1个元素的AVL树，而且插入用时为O(logn)；
5.将一个元素从一棵n元素的AVL树中删除，可以得到一棵n-1个元素的AVL树，而且删除用时为O(logn)。
总结：AVL树的高度是O(logn)，查找、插入、删除的时间都是O(logn)。
三：AVL树的描述
AVL树一般用链表描述。为每个节点增加一个平衡因子。
平衡因子bf：左子树高度减去右子树高度
平衡因子的取值为：-1，0，1
四：AV搜索L树的查找
和二叉搜索树的查找操作一样，从根开始查找，如果key比根的关键字小，则在左子树中找，否则在右子树中找
五：AVL搜索树的插入
使用二叉搜索树的插入可能导致AVL树不再平衡。
一棵树不再平衡的过程是：在插入操作之后，平衡因子bf的值由-1变为-2，或者由1变为2。
节点A的不平衡情况可以分为四类：LL,LR,RR,RL
LL：新插入的节点在A节点的左子树的左子树中
LR：新插入的节点在A节点的左子树的右子树中
RR：新插入的节点在A节点的右子树的右子树中
RL：新插入的节点在A节点的右子树的左子树中
单旋转：矫正LL和RR型不平衡所做的转换。（下图圈中是平衡因子）
双旋转：矫正LR和RL型不平衡所做的转换。
如果插入导致不平衡，那么一次单步旋转就可以恢复平衡。
AVL搜索树插入的步骤：
1.沿着根节点开始的路径，根据新元素的关键字，去寻找新元素的插入位置，过程类似二叉搜索树的插入寻找位置的过程。在此过程中，记录最新发现平衡因子为-1或1的节点，并令其为A节点。如果找到了具有相同关键字的元素，则插入失败（因为AVL树是二叉搜索树，关键字唯一）；
2.如果步骤1中没发现A节点，就从根节点开始沿着查找路径修改平衡因子的值；
3.如果平衡因子bf(A)=1并且新节点插入在A的右子树中，或者bf(A)=-1并且新节点插入到左子树，那么A的平衡因子为0。这种情况下，修改从A到新节点途中的平衡因子的值；
4.确定A的不平衡类型并执行相应的旋转，并修改新子树根节点至新插入节点的路径上的节点的平衡因子的值。
六：AVL搜索树的删除
设q是被删除节点的父节点，被删除的节点永远是叶节点（如果删除的不是叶节点，沿着从被删除节点到叶节点的路径将元素向上传递，过程如图所示）。
如果删除发生在q的左子树，那么q的高度减去1，如果删除发生在q的右子树，那么q的高度加上1。删除的几种情形如下：
1.如果q的新平衡因子是0，那么它的高度减少了1，这时需要改变它的父节点的平衡因子，而且可能需要改变其他祖先节点的平衡因子的值；
2.如果q的新平衡因子是-1或1，那么它的高度和删除前相同，而且无需改变其祖先的平衡因子值；
3.如果q的新平衡因子是-2或2，那么树在q处是不平衡的。
令不平衡的节点为A，如果删除发生在A的左子树，那么不平衡的类型就是L型，反之，不平衡类型就是R型。
设A有一棵以B为根的左子树，根据左子树B的平衡因子bf的值，可以将一个R型不平衡细分为R0,R1,R-1，分别如下：
R0型矫正：
R1型矫正：
R-1型矫正：
R0和R1型旋转都是单旋转。
R-1型旋转是双旋转，节点A和B在旋转后的平衡因子的值取决于B的右孩子的平衡因子b。
