+#揹包问题

问题:

给定 n 种物品和一个揹包, 物品 i 的重量是 wi , 其价值为 vi , 揹包的容量为 C 。揹包问题是如何选择装入揹包的物品, 使得装入揹包中物品的总价值最大? 如果在选择装入揹包的物品时, 对每种物品 i 只有两种选择: 装入揹包或不装入揹包, 即不能将物品 i 装入揹包多次, 也不能只装入物品 i 的一部分, 则称为 0/1 揹包问题。

形式化:

约束条件：

⎧⎩⎨⎪⎪∑i=1nwixi≤Cxi∈{0,1} (1≤i≤n)

求一个向量:

X=(x1,x2,x3...,xn)

使它满足:

max∑i=1nvixi

求解：

朴素方法:

遍历 X=(x1,x2,x3...,xn) 所有可能 时间复杂度 O(2n)

动态规划:

• 最优子结构:
  X′=(x1,x2，x3...,xn−1) 是子问题:
  

  ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪∑i=1n−1wixi≤C−wnxnxi∈{0,1} (1≤i≤n−1) 的最优解

  证明(反证法):
  假设: X′=(x1,x2，x3...,xn−1) 不是子问题的最优解
  Y=(y1,y2，y3...,yn−1) 是子问题的最优解
  则:
  

  ∑i=1n−1viyi≥∑i=1n−1vixi
  进而得到:
  ∑i=1n−1viyi+vnxn≥∑i=1n−1vixi+vnxn
  得出 X=(x1,x2,x3...,xn) 不是原问题的最优解， X=(y1,y2,y3...,xn) 才是。
  与题设矛盾。

• 构造最优解:
  如何通过子问题构造最优解？
  假如我们有问题：
  

  ⎧⎩⎨⎪⎪∑i=1nwixi≤Cxi∈{0,1} (1≤i≤n)
  的最优解 X=(x1,x2,x3...,xn)

  它的子问题是:
  1.如果 xn=0 :
  

  ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪∑i=1n−1wixi≤Cxi∈{0,1} (1≤i≤n−1)
  2.如果 xn=1 :
  ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪∑i=1n−1wixi≤C−wnxi∈{0,1} (1≤i≤n−1)
  状态转移方程求解:
  设 dp[n,C] 是问题最优解
  则:
  dp[n,C]={dp[n−1,C]  (xn=0)dp[n−1,C−wn]+vn  (xn=1)