全排列的六种算法

    近来一直忙着照顾宝宝,博客久未更新了。

    全排列是一种时间复杂度为:O(n!)的算法,前两天给学生讲课,无意间想到这个问题,回来总结了一下,可以由7种算法求解,其中动态循环类似回溯算法,实现起来比较繁琐,故总结了6种,以飨读者。所有算法均使用JavaScript编写,可直接运行。

算法一:交换(递归)

 
 
  1. <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml">  
  2. <head>  
  3.     <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />  
  4.     <title>Full Permutation(Recursive Swap) - Mengliao Software</title>  
  5. </head>  
  6. <body>  
  7. <p>Full Permutation(Recursive Swap)<br />  
  8. Mengliao Software Studio - Bosun Network Co., Ltd.<br />  
  9. 2011.05.24</p>  
  10. <script type="text/javascript">  
  11. /*  
  12. 全排列(递归交换)算法  
  13. 1、将第一个位置分别放置各个不同的元素;  
  14. 2、对剩余的位置进行全排列(递归);  
  15. 3、递归出口为只对一个元素进行全排列。  
  16. */ 
  17. function swap(arr,i,j) {  
  18.     if(i!=j) {  
  19.         var temp=arr[i];  
  20.         arr[i]=arr[j];  
  21.         arr[j]=temp;  
  22.     }  
  23. }  
  24. var count=0;  
  25. function show(arr) {  
  26.     document.write("P<sub>"+ ++count+"</sub>: "+arr+"<br />");  
  27. }  
  28. function perm(arr) {  
  29.     (function fn(n) { //为第n个位置选择元素  
  30.         for(var i=n;i<arr.length;i++) {  
  31.             swap(arr,i,n);  
  32.             if(n+1<arr.length-1) //判断数组中剩余的待全排列的元素是否大于1个  
  33.                 fn(n+1); //从第n+1个下标进行全排列  
  34.             else 
  35.                 show(arr); //显示一组结果  
  36.             swap(arr,i,n);  
  37.         }  
  38.     })(0);  
  39. }  
  40. perm(["e1","e2","e3","e4"]);  
  41. </script>  
  42. </body>  
  43. </html> 

算法二:链接(递归)

 
 
  1. <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml">  
  2. <head>  
  3.     <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />  
  4.     <title>Full Permutation(Recursive Link) - Mengliao Software</title>  
  5. </head>  
  6. <body>  
  7. <p>Full Permutation(Recursive Link)<br />  
  8. Mengliao Software Studio - Bosun Network Co., Ltd.<br />  
  9. 2012.03.29</p>  
  10. <script type="text/javascript">  
  11. /*  
  12. 全排列(递归链接)算法  
  13. 1、设定源数组为输入数组,结果数组存放排列结果(初始化为空数组);  
  14. 2、逐一将源数组的每个元素链接到结果数组中(生成新数组对象);  
  15. 3、从原数组中删除被链接的元素(生成新数组对象);  
  16. 4、将新的源数组和结果数组作为参数递归调用步骤2、3,直到源数组为空,则输出一个排列。  
  17. */ 
  18. var count=0;  
  19. function show(arr) {  
  20.     document.write("P<sub>"+ ++count+"</sub>: "+arr+"<br />");  
  21. }  
  22. function perm(arr) {  
  23.     (function fn(source, result) {  
  24.         if (source.length == 0)  
  25.             show(result);  
  26.         else 
  27.             for (var i = 0; i < source.length; i++)  
  28.                 fn(source.slice(0, i).concat(source.slice(i + 1)), result.concat(source[i]));  
  29.     })(arr, []);  
  30. }  
  31. perm(["e1""e2""e3""e4"]);  
  32. </script>  
  33. </body>  
  34. </html> 

算法三:回溯(递归)

 
 
  1. <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml">  
  2. <head>  
  3.     <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />  
  4.     <title>Full Permutation(Recursive Backtrack) - Mengliao Software</title>  
  5. </head>  
  6. <body>  
  7. <p>Full Permutation(Recursive Backtrack)<br />  
  8. Mengliao Software Studio - Bosun Network Co., Ltd.<br />  
  9. 2012.03.29</p>  
  10. <script type="text/javascript">  
  11. /*  
  12. 全排列(递归回溯)算法  
  13. 1、建立位置数组,即对位置进行排列,排列成功后转换为元素的排列;  
  14. 2、建立递归函数,用来搜索第n个位置;  
  15. 3、第n个位置搜索方式与八皇后问题类似。  
  16. */ 
  17. var count = 0;  
  18. function show(arr) {  
  19.     document.write("P<sub>" + ++count + "</sub>: " + arr + "<br />");  
  20. }  
  21. function seek(index, n) {  
  22.     if (n >= 0) //判断是否已回溯到了第一个位置之前,即已经找到了所有位置排列  
  23.         if (index[n] < index.length - 1) { //还有下一个位置可选  
  24.             index[n]++; //选择下一个位置  
  25.             if ((function () { //该匿名函数判断该位置是否已经被选择过  
  26.                 for (var i = 0; i < n; i++)  
  27.                     if (index[i] == index[n]) return true//已选择  
  28.                 return false//未选择  
  29.             })())  
  30.                 return seek(index, n); //重新找位置  
  31.             else 
  32.                 return true//找到  
  33.         }  
  34.         else { //当前无位置可选,进行递归回溯  
  35.             index[n] = -1; //取消当前位置  
  36.             if (seek(index, n - 1)) //继续找上一个位置  
  37.                 return seek(index, n); //重新找当前位置  
  38.             else 
  39.                 return false//已无位置可选  
  40.         }  
  41.     else 
  42.         return false;  
  43. }  
  44. function perm(arr) {  
  45.     var index = new Array(arr.length);  
  46.     for (var i = 0; i < index.length; i++)  
  47.         index[i] = -1; //初始化所有位置为-1,以便++后为0  
  48.     for (i = 0; i < index.length - 1; i++)  
  49.         seek(index, i); //先搜索前n-1个位置  
  50.     while (seek(index, index.length - 1)) { //不断搜索第n个位置,即找到所有位置排列  
  51.         var temp = [];  
  52.         for (i = 0; i < index.length; i++) //将位置之转换为元素  
  53.             temp.push(arr[index[i]]);  
  54.         show(temp);  
  55.     }  
  56. }  
  57. perm(["e1""e2""e3""e4"]);  
  58. </script>  
  59. </body>  
  60. </html> 

算法四:回溯(非递归)

 
 
  1. <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml">  
  2. <head>  
  3.     <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />  
  4.     <title>Full Permutation(Non-recursive Backtrack) - Mengliao Software</title>  
  5. </head>  
  6. <body>  
  7. <p>  
  8. Full Permutation(Non-recursive Backtrack)<br />  
  9. Mengliao Software Studio - Bosun Network Co., Ltd.<br />  
  10. 2012.03.29</p>  
  11. <script type="text/javascript">  
  12. /*  
  13. 全排列(非递归回溯)算法  
  14. 1、建立位置数组,即对位置进行排列,排列成功后转换为元素的排列;  
  15. 2、第n个位置搜索方式与八皇后问题类似。  
  16. */ 
  17. var count = 0;  
  18. function show(arr) {  
  19.     document.write("P<sub>" + ++count + "</sub>: " + arr + "<br />");  
  20. }  
  21. function seek(index, n) {  
  22.     var flag = false, m = n; //flag为找到位置排列的标志,m保存正在搜索哪个位置  
  23.     do {  
  24.         index[n]++;  
  25.         if (index[n] == index.length) //已无位置可用  
  26.             index[n--] = -1; //重置当前位置,回退到上一个位置  
  27.         else if (!(function () {  
  28.             for (var i = 0; i < n; i++)  
  29.                 if (index[i] == index[n]) return true;  
  30.             return false;  
  31.         })()) //该位置未被选择  
  32.             if (m == n) //当前位置搜索完成  
  33.                 flag = true;  
  34.             else 
  35.                 n++;  
  36.     } while (!flag && n >= 0)  
  37.     return flag;  
  38. }  
  39. function perm(arr) {  
  40.     var index = new Array(arr.length);  
  41.     for (var i = 0; i < index.length; i++)  
  42.         index[i] = -1;  
  43.     for (i = 0; i < index.length - 1; i++)  
  44.         seek(index, i);  
  45.     while (seek(index, index.length - 1)) {  
  46.         var temp = [];  
  47.         for (i = 0; i < index.length; i++)  
  48.             temp.push(arr[index[i]]);  
  49.         show(temp);  
  50.     }  
  51. }  
  52. perm(["e1""e2""e3""e4"]);  
  53. </script>  
  54. </body>  
  55. </html> 

算法五:排序(非递归)

 
 
  1. <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml">  
  2. <head>  
  3.     <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />  
  4.     <title>Full Permutation(Non-recursive Sort) - Mengliao Software</title>  
  5. </head>  
  6. <body>  
  7. <p>  
  8. Full Permutation(Non-recursive Sort)<br />  
  9. Mengliao Software Studio - Bosun Network Co., Ltd.<br />  
  10. 2012.03.30</p>  
  11. <script type="text/javascript">  
  12. /*  
  13. 全排列(非递归求顺序)算法  
  14. 1、建立位置数组,即对位置进行排列,排列成功后转换为元素的排列;  
  15. 2、按如下算法求全排列:  
  16. 设P是1~n(位置编号)的一个全排列:p = p1,p2...pn = p1,p2...pj-1,pj,pj+1...pk-1,pk,pk+1...pn  
  17. (1)从排列的尾部开始,找出第一个比右边位置编号小的索引j(j从首部开始计算),即j = max{i | pi < pi+1}  
  18. (2)在pj的右边的位置编号中,找出所有比pj大的位置编号中最小的位置编号的索引k,即 k = max{i | pi > pj}  
  19.    pj右边的位置编号是从右至左递增的,因此k是所有大于pj的位置编号中索引最大的  
  20. (3)交换pj与pk  
  21. (4)再将pj+1...pk-1,pk,pk+1...pn翻转得到排列p' = p1,p2...pj-1,pj,pn...pk+1,pk,pk-1...pj+1  
  22. (5)p'便是排列p的下一个排列  
  23.  
  24. 例如:  
  25. 24310是位置编号0~4的一个排列,求它下一个排列的步骤如下:  
  26. (1)从右至左找出排列中第一个比右边数字小的数字2;  
  27. (2)在该数字后的数字中找出比2大的数中最小的一个3;  
  28. (3)将2与3交换得到34210;  
  29. (4)将原来2(当前3)后面的所有数字翻转,即翻转4210,得30124;  
  30. (5)求得24310的下一个排列为30124。  
  31. */ 
  32. var count = 0;  
  33. function show(arr) {  
  34.     document.write("P<sub>" + ++count + "</sub>: " + arr + "<br />");  
  35. }  
  36. function swap(arr, i, j) {  
  37.     var t = arr[i];  
  38.     arr[i] = arr[j];  
  39.     arr[j] = t;  
  40.  
  41. }  
  42. function sort(index) {  
  43.     for (var j = index.length - 2; j >= 0 && index[j] > index[j + 1]; j--)  
  44.         ; //本循环从位置数组的末尾开始,找到第一个左边小于右边的位置,即j  
  45.     if (j < 0) return false//已完成全部排列  
  46.     for (var k = index.length - 1; index[k] < index[j]; k--)  
  47.         ; //本循环从位置数组的末尾开始,找到比j位置大的位置中最小的,即k  
  48.     swap(index, j, k);  
  49.     for (j = j + 1, k = index.length - 1; j < k; j++, k--)  
  50.         swap(index, j, k); //本循环翻转j+1到末尾的所有位置  
  51.     return true;  
  52. }  
  53. function perm(arr) {  
  54.     var index = new Array(arr.length);  
  55.     for (var i = 0; i < index.length; i++)  
  56.         index[i] = i;  
  57.     do {  
  58.         var temp = [];  
  59.         for (i = 0; i < index.length; i++)  
  60.             temp.push(arr[index[i]]);  
  61.         show(temp);  
  62.     } while (sort(index));  
  63. }  
  64. perm(["e1""e2""e3""e4"]);  
  65. </script>  
  66. </body>  
  67. </html> 

算法六:求模(非递归)

 
 
  1. <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml">  
  2. <head>  
  3.     <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />  
  4.     <title>Full Permutation(Non-recursive Modulo) - Mengliao Software</title>  
  5. </head>  
  6. <body>  
  7. <p>Full Permutation(Non-recursive Modulo)<br />  
  8. Mengliao Software Studio - Bosun Network Co., Ltd.<br />  
  9. 2012.03.29</p>  
  10. <script type="text/javascript">  
  11. /*  
  12. 全排列(非递归求模)算法  
  13. 1、初始化存放全排列结果的数组result,与原数组的元素个数相等;  
  14. 2、计算n个元素全排列的总数,即n!;  
  15. 3、从>=0的任意整数开始循环n!次,每次累加1,记为index;  
  16. 4、取第1个元素arr[0],求1进制的表达最低位,即求index模1的值w,将第1个元素(arr[0])插入result的w位置,并将index迭代为index\1;  
  17. 5、取第2个元素arr[1],求2进制的表达最低位,即求index模2的值w,将第2个元素(arr[1])插入result的w位置,并将index迭代为index\2;  
  18. 6、取第3个元素arr[2],求3进制的表达最低位,即求index模3的值w,将第3个元素(arr[2])插入result的w位置,并将index迭代为index\3;  
  19. 7、……  
  20. 8、直到取最后一个元素arr[arr.length-1],此时求得一个排列;  
  21. 9、当index循环完成,便求得所有排列。  
  22.  
  23. 例:  
  24. 求4个元素["a", "b", "c", "d"]的全排列, 共循环4!=24次,可从任意>=0的整数index开始循环,每次累加1,直到循环完index+23后结束;  
  25. 假设index=13(或13+24,13+2*24,13+3*24…),因为共4个元素,故迭代4次,则得到的这一个排列的过程为:  
  26. 第1次迭代,13/1,商=13,余数=0,故第1个元素插入第0个位置(即下标为0),得["a"];  
  27. 第2次迭代,13/2, 商=6,余数=1,故第2个元素插入第1个位置(即下标为1),得["a", "b"];  
  28. 第3次迭代,6/3, 商=2,余数=0,故第3个元素插入第0个位置(即下标为0),得["c", "a", "b"];  
  29. 第4次迭代,2/4,商=0,余数=2, 故第4个元素插入第2个位置(即下标为2),得["c", "a", "d", "b"];  
  30. */ 
  31. var count = 0;  
  32. function show(arr) {  
  33.     document.write("P<sub>" + ++count + "</sub>: " + arr + "<br />");  
  34. }  
  35. function perm(arr) {  
  36.     var result = new Array(arr.length);  
  37.     var fac = 1;  
  38.     for (var i = 2; i <= arr.length; i++)  
  39.         fac *= i;  
  40.     for (index = 0; index < fac; index++) {  
  41.         var t = index;  
  42.         for (i = 1; i <= arr.length; i++) {  
  43.             var w = t % i;  
  44.             for (j = i - 1; j > w; j--)  
  45.                 result[j] = result[j - 1];  
  46.             result[w] = arr[i - 1];  
  47.             t = Math.floor(t / i);  
  48.         }  
  49.         show(result);  
  50.     }  
  51. }  
  52. perm(["e1""e2""e3""e4"]);  
  53. </script>  
  54. </body>  
  55. </html> 

    上面的六种算法有些是对位置进行排列,例如回溯、排序等,因为这样可以适应各种类型的元素,而非要求待排列元素一定是数字或字母等。

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