相信童鞋们做题多了会发现，很多题都是要求次幂的。如果数据比较小，用int 或者long long 的暴力也是可以出结果的，但很多题就不尽如人意了，数据往往非常大，long long 可能都存不下，甚至还会爆内存，导致数据出错。

这时候就需要更快更省内存的算法——快速幂

快速幂快速幂，就是快！想象一下，求2^16，是2*2*2*…乘16个2快，还是((2*2*2*2) * (2*2*2*2)) * ((2*2*2*2) * (2*2*2*2)) 再算 (2*2*2*2) * (2*2*2*2). . .比较快。所以，快速幂的原理来了：求a^n，只要求a^(n/2) * a^(n/2)即可，以此类推，倒着算，当然，这是n为偶数的情况。n为奇数时只要ans*a即可

int sq(ll a,ll n)
{
	if(n==1)
		return a; 
	else if(n%2==1)
		return (ll)pow(sq(a,n/2),2)*a;
	else
		return (ll)pow(sq(a,n/2),2);
}

这里判断次数是否为奇数，有多种方法（暂时我只知道两种）：

① n%2（==1）   ② n&1（==1） 因为&是与符号，在计算机中存储都为二进制数，只有n的尾数为1（即n为奇数）时，1&1=1，if条件才成立

有时次幂结果太大的，题上会要求取余，那么取余应该怎么做呢？

离散数学讲到：积的取余等于取余的积的取余。

举个例子：（a * b）%mod = （a%mod * b%mod）%mod

在次幂也同样适用，比如：2^3%mod = （（2%mod * 2%mod）%mod * 2%mod ）%mod

看起来很复杂，但是写成算法就还好，注意不要少了取余的个数，少取一次就误差一点，少取n多次。。嗯。。。

int sq(ll a,ll n)
{
	if(n==1)
		return a%mod; 
	else if(n&1)
		return ((ll)pow(sq(a%mod,n/2)%mod,2))%mod*(a%mod)%mod;
	else
		return ((ll)pow(sq(a%mod,n/2)%mod,2))%mod;
}

还有一种稍微优化一点的算法，省去了pow函数

ll sq(ll a,ll n)
{
	if(n==1)
		return a;
	ll ans = sq(a,n/2)%mod;
	if(n&1)
		return (ans* ans)%mod * (a%mod) %mod;
	else
		return ans * ans % mod;
}

上面的方法是递归，还有一种迭代的写法

ll quick_pow(ll a, ll n) 
{
    ll ans=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            ans=(ans*a)%mod;
            n--;
        }
        n/=2;
        a=a*a%mod;
    }
    return ans;
}