最優矩陣鏈乘（經典DP）

2024年2月9日 146次阅读

最優矩陣鏈乘
[題目]
一個n*m的矩陣由n行m列共n*m排列而成。兩個矩陣A和B可以相乘當且僅當A的列數等於B的行數。一個n*m的矩陣乘m*p的矩陣，運算量爲n*m*p。

　　　矩陣乘法不滿足分配律，但滿足結合律。因此A*B*C既可以按順序（A*B）C也可以按A（B*C）來進行。假設A、B、C分別是2*3、3*4、4*5的，則（A*B）C運算量是2*3*4+2*4*5=64，A（B*C）的運算量是3*4*5*2*3*5=90.顯然第一種順序節省運算量。

　　　給出n個矩陣組成的序列，設計一種方法把他們依次乘起來，使得總的運算量儘量小。假設第i個矩陣A[i]是P[i-1]*P[i]的。

輸入

3
2 3
3 4
4 5

輸出
64

[分析]
矩陣鏈乘可以看成一個表達式，無論加多少括號，一定存在最後一次乘法，而最後一次乘號的左右兩邊的子表達式一定存在最優解（運算量最小），也就是最優子結構。狀態轉移方程如下：
f(i,j)=min{f(i,k)+f(k+1,j)+pi-1pkpj};
其中f(i,j)表示第i個矩陣到第j個矩陣的運算量，k爲中間乘號的位置，p保存矩陣的行和列，第i個矩陣的行爲pi-1，列爲pi（這裏用到了一個小技巧，由於輸入是每一個矩陣的行和列，且前一個矩陣的列和後一個的行相同，在保存時重合讀入）。
由於算法複雜度爲O(n3),採用記憶化搜索優化。

[代碼]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxsize=2000+5;
const int INF=1000000000;
int d[maxsize][maxsize];
int p[maxsize];
int dp(int i,int j)
{
    if(d[i][j]>0) return d[i][j];
    if(i==j) return 0;
    d[i][j]=INF;
    for(int k=i;k<=j;k++)
    {
        d[i][j]=min(d[i][j],dp(i,k)+dp(k+1,j)+p[i-1]*p[k]*p[j]);
    }
    return d[i][j]; 
}
int main()
{
    freopen("input.txt","r",stdin);
    int n,T;
    cin>>T;
    for(int j=0;j<T;j++)
    {
        memset(d,0,sizeof(d));
        cin>>n;
        for (int i=1;i<=n; i++)
        {
            cin>>p[i-1]>>p[i];
        }
        if(n==1)
        cout<<p[0]*p[1]<<endl;
        else
        cout<<dp(1,n)<<endl;
    }
    return 0;
}
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