動態規劃 --- hdu 1003 **

2024年2月12日 186次阅读

Max Sum

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Problem Description Given a sequence a[1],a[2],a[3]……a[n], your job is to calculate the max sum of a sub-sequence. For example, given (6,-1,5,4,-7), the max sum in this sequence is 6 + (-1) + 5 + 4 = 14. Input The first line of the input contains an integer T(1<=T<=20) which means the number of test cases. Then T lines follow, each line starts with a number N(1<=N<=100000), then N integers followed(all the integers are between -1000 and 1000). Output For each test case, you should output two lines. The first line is “Case #:”, # means the number of the test case. The second line contains three integers, the Max Sum in the sequence, the start position of the sub-sequence, the end position of the sub-sequence. If there are more than one result, output the first one. Output a blank line between two cases. Sample Input

 2 5 6 -1 5 4 -7 7 0 6 -1 1 -6 7 -5    Sample Output
 Case 1: 14 1 4 Case 2: 7 1 6
1. 分析： 
此題是一道非常基礎的動態規劃題目，求數組的最大子序列和，我們可以用dp[i]表示數組中以a[i]爲結尾的最大子序列和，則有如下遞推公式：
           dp[i]=max(dp[i-1]+a[i], a[i])
根據上述的遞推公式即可求出所有的dp[i]，而程序所求即max(dp[i]).
觀察上述遞推公式，可以發現，dp[i+1]只依賴dp[i]，因而只需要用一個變量sum保存當前的值dp[i]，並更新保存max_sum = max(dp[i])即可
對於最大子序列區間，有三種方法：
    1. 根據遞推公式，可以跟蹤i的變化。在求最大值過程中，保存最大值的索引(i值)，若dp[i] = dp[i-1] + a[i]，則序列中肯定包含a[i-1]， 若dp[i] = a[i]，則序列從i處開始，從而求出區間。此方法需要保存各個dp[i]的值。
    2. 根據其最大值的結束位置，依次向前加，當sum == max_sum時，即爲其一個起始位置。（此題要求求出第一y個子序列，因而需要一直試探至數組起始位置）。（此方法不需要保存dp數組）
    3. 根據遞推公式，可發現，每次當dp[i]=a[i]時，即爲當前區間的起始位置，因此可以記錄該起始位置（下邊代碼用的正是該方法）
2. AC代碼：
#include <stdio.h>

int a[100000];

int main() {
    int t, case_num;
    case_num = 1;

    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        for (int i=0; i<n; i++)
            scanf("%d", &a[i]);

        int sum, max_sum, begin, end, pos;
        sum = max_sum = a[0];
        begin = end = pos = 0;

        for (int i=1; i<n; ++i) {
            sum = sum + a[i];
            if (sum < a[i]) {
                sum = a[i];
                pos = i;
            }
            if (sum > max_sum) {
                max_sum = sum;
                begin = pos;
                end = i;
            }
        }
        printf("Case %d:\n%d %d %d\n", case_num++, max_sum, begin+1, end+1);
        if (t)       /////////////////////////////
            puts("");
    }
    return 0;
}
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