一、爲什麼要搞定遞歸

在計算機科學與技術中，遞歸思想是簡單而且複雜的。它可以將複雜的數學問題用簡單的代碼實現，但是要理解它卻是需要複雜的思考。大多數算法中都巧妙的使用了，或者可以使用遞歸來完成，比如排序算法中的快速排序、堆排序、歸併排序等，數據結構中樹的遍歷、平衡樹的判斷、二叉查找樹的建立與維護以及圖的遍歷與最短路徑求解等，動態規劃、貪心算法等等，實在事太多太多，就不一一列舉了。所以掌握好遞歸對於學習好算法與數據結構的重要性不言而喻。

二、初見遞歸

要想學好遞歸就得先了解函數調用在內存中的實現方式：函數調用是通過棧的方式實現的。遞歸簡單來說就是在函數內部調用其本身，借用棧的特性，在一定的遞歸終止條件下，達到正向循環和反向循環的目的。這裏有幾個重點：1）函數調用與運行的順序，2）遞歸終止條件。前者關係到我們在函數內部對數據進行操作的位置，後者關係到我們遞歸循環達到的範圍。所以在書寫遞歸函數之前，務必要將其弄清楚。

三、例子

例子：實現一個函數檢查二叉樹是否平衡。平衡樹定義：任意一個節點，其兩棵子樹的高度差不超過1。

遞歸解法：如上所說，我們要解決的其實是找到每個節點左右子樹最大高度，並進行比較。所以要利用遞歸解決問題，要先搞清楚遞歸的兩個重點：1）函數調用於運行的順序，2）遞歸終止條件。

對於前者，是由我們的目的決定的：我們想要得到每個節點對應的左右子樹的高度。這種一般是在遞歸調用之後執行操作（包括樹的高度計算，或者返回結果），可以對應到樹的後序遍歷。

對於後者，是由我們的數據結構特性決定的：樹的葉子節點的左右左右孩子節點爲空。其實到這裏，利用遞歸算法解這個題的思路就已經形成了。

首先，在遞歸調用前，作出判斷，如果當前節點是空，則返回0,表示當前節點爲葉子節點，其對應子樹高度爲0。其次，分別將當前節點的左右孩子作爲參數進行遞歸調用。最後，在遞歸調用後，比較前兩個遞歸調用的返回值大小，並得到較大的，其即爲當前節點的最大左右子樹高度。並將最大高度加1並返回。完畢！

就是這麼簡單。其實完全文字敘述可能有點難以理解，不過如果有一定的基礎，還是比較通俗易懂的。如果有時間，我以後會加上圖解。

代碼如下：

int getHeight(TreeNode *root){
    if(root == null)
        return 0;

    int left = getHeight(root->left);
    int right = getHeight(root->right);

    int height = Math.max(left, right);

    return height + 1;
}

最後這是對於一個節點的左右子樹高度的判斷，我們還需要對整棵樹的每個節點進行判斷。所以我們還需要如下代碼：

bool checkBalanced(TreeNode *root){
    if(root == null)
        return true;
    if(Math.abs(getHeight(root->left) - getHeight(root->right)) > 1)
        return false;
    return checkBalanced(root->left) && checkBalanced(root->right);
}

以上算法的時間複雜度是O(NlogN)。對該算法進行很小的修改即可達到線性時間O(N)的效果。大家可以自行思考。

四、再看遞歸

經過以上分析（其實這部分是要結合我設計的圖來說明的，最近比較忙，圖估計要晚些時候是上了，那就先完成這個部分吧。），我們可以看到，遞歸的一個比較重要的特性，棧的運行順序。所以我們會在書寫遞歸程序時有類似下面的總結：

1）首先弄清楚我們要對數據處理的順序（對應於前面說的遞歸的第一個重點）；

2）其次弄清楚數據結構的特性，或者說遞歸的終止條件（對應於前面說的遞歸的第二個重點）；

3）在檢查代碼時，將每次遞歸過程想象成一個完全相同的（裝了同樣的代碼，僅僅是傳入的參數可能不同）矩形框，矩形框中的一行對應於函數中的一行執行代碼。從每個遞歸調用出會衍生出新的矩形框；

4）在第一次達到遞歸終止條件時，代表該矩形框可以被拋棄（函數調用運行結束），並返回調用他的矩形框中，在調用處的下一行繼續運行，直到返回。後續運行，依次類推。