一、问题
有N件物品和一个容量(最大承重)为V的揹包。第i件物品的体积(重量)是w[i],价值是p[i]。求解将哪些物品装入揹包可使价值总和最大。
所谓01揹包,表示每一个物品只有一个,要么装入,要么不装入。
二、分析
0-1揹包属于求最优解,当然用动态规划解决,当然也可以用其他方法解决。这里介绍动态规划方法。
阶段是:在前N件物品中,选取若干件物品放入揹包中;
状态是:在前N件物品中,选取若干件物品放入所剩空间为W的揹包中的所能获得的最大价值;
决策是:第N件物品放或者不放;
dp[i][j]是:在前 i 件物品中选择若干件放在所剩空间为 j 的揹包里所能获得的最大价值;
状态转移方程:
1. dp[i][j] = 0 where j=0 or i =0
2. dp[i][j] = dp[i-1][j] where j< w[i]
3. dp[i][j] = max{dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + p[i]} where j >= w[i]
解释:第一种是第i件不放进去,这时所得价值为:f[i-1][v]
第二种是第i件放进去,这时所得价值为:f[i-1][v-c[i]]+w[i]
三、实现
void display(int N,int V, int w[],int p[],int *dp)
{
#define dp(i,j) *(dp + (i)*(V+1) + (j))
int i=N,j=V;
vector<int> vrst;
while(i>0 && j>0)
{
if (dp(i,j) != dp(i-1,j))
{
vrst.push_back(i);
j = j - w[i-1];
}
i--;
}
for(vector<int>::iterator iter = vrst.begin();
iter != vrst.end();
++iter)
{
cout << *iter << " " ;
}
#undef dp
}
//n个物品,容量为V,w为体积,p为价值
void pack_of_01(int N,int V,int w[],int p[])
{
int i,j;
int* dp = (int*)malloc(sizeof(int)*(N+1)*(V+1));
#define dp(i,j) *(dp + (i)*(V+1) + (j))
memset(dp,0,sizeof(int)*(V+1)*(N+1));
for (i=1;i<=N;i++)
{
for(j=1;j<=V;j++)
{
dp(i,j) = dp(i-1,j);
//注意此时的i对应w和p中的i-1,因为dp多加了一个0行0列
if (j >= w[i-1] && (dp(i-1,j-w[i-1]) + p[i-1]) > dp(i-1,j))
{
dp(i,j) = dp(i-1,j-w[i-1]) + p[i-1];
}
}
}
for (i=1;i<=N;i++)
{
for(j=1;j<=V;j++)
{
cout << dp(i,j) << " ";
}
cout << endl;
}
display(N,V,w,p,dp);
free(dp);
#undef dp
}
测试代码:
int p[T] = {12 , 10 , 20, 15 };
int w[T] = {2 , 1 , 3 , 2 };
pack_of_01(4,5,w,p);
结果:
四、优化
自己想了一种优化方法,就是只要O(V)的空间,因为dp[i][j]总是找dp[i-1][j]或者dp[i-1][j-w[i]]。所以每次从后往前遍历,相当于二维数组从后往前,从上往下遍历。但是,这只能获得最优解,不能获得最优的那个几个揹包。
代码如下:
int packof01()
{
for(int i = 0 ; i <= V ;i++) //条件编译,表示揹包可以不存储满
f[i] = 0 ;
for(int i = 0 ; i < N ; i++)
{
for(int v = V ; v >= w[i] ;v--) //必须全部从V递减到0
{
f[v] = max(f[v-w[i]] + p[i] , f[v]) ; //此f[v]实质上是表示的是i-1次之前的值。
}
}
return f[V] ;
}
五、扩展
01揹包(ZeroOnePack):
有N件物品和一个容量为V的揹包。(每种物品均只有一件)第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入揹包可使价值总和最大。
完全揹包(CompletePack):
有N种物品和一个容量为V的揹包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入揹包可使这些物品的费用总和不超过揹包容量,且价值总和最大。
多重揹包(MultiplePack):
有N种物品和一个容量为V的揹包。第i种物品最多有n[i]件可用,每件费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入揹包可使这些物品的费用总和不超过揹包容量,且价值总和最大。