来源自我的博客

http://www.yingzinanfei.com/2017/03/04/0-1beibaoxiangxijieshijiadaimazhushi/

问题：

有n种物品，每种只有一个。第i种物品的体积为Vi，重量为Wi。选一些物品装到一个容量为C的揹包，使得揹包内物品在总体积不超过C的前提下重量尽量大。

1 <= n <= 100

1 <= Vi <= C <= 10000

1 <= Wi <= 1000000

方法：

• 题目为求把第1,2,3,…,n个物品装到容量为C的揹包中的最大重量，那么设d(i,j)表示把第i,i+1,i+2,…,n个物品装到容量为j的揹包中的最大重量。答案为d(1,C)。
• 那么在处理第i个物品时有两个选择，放入揹包和不放入揹包
  
  • 如果第i个物品不放入揹包，那么d(i, j) = d(i + 1, j)，表示这和把第i+1,i+2,…,n个物品装到容量为j的揹包中的最大重量一样
  • 如果第i个物品放入了揹包，那么要从i+1层来获得数据的话，肯定是从第i+1,i+2,…,n个物品装到容量为j-V[i]获得。因为第i个物品放入了揹包，下一层时容量变小了
    
    • d(i+1, j-V[i])
    • 因为d(i, j)表示的含义是揹包中的最大重量，因为第i个物品放入了揹包，所以重量有增加，最后的表达式为d(i, j) = d(i + 1, j - V[i]) + W[i]
  • 这两种情况都有可能，那么就取最大值吧
• d(i, j) = max{d(i + 1, j), d(i + 1, j - V[i]) + W[i]}
• 因为第i层数据从第i+1层来，所以对i的循环要逆序，从大到小
• 第n层的数据d(n, j)表示把第n个物品装到容量为j的揹包中的最大重量，没有第n+1层了，所以直接判断此边界
  
  • 如果能放进且放进去的话，d(n, j) = V[n]
  • 如果不能放进或不想放进的话，d(n, j) = 0

代码

for (int j = 0; j <= C; j++){
    // 处理第n层的边界情况
    if (j >= V[n]){
        // 如果能放进去那肯定选择放进去
        d[n][j] = W[n];
    }
    else{
        // 不能放进去就为0
        d[n][j] = 0;
    }
}
for (int i = n - 1; i >= 1; i--){
    // n要逆序，从第n-1层开始
    for (int j = 0; j <= C; j++){
        // j的循环次序无所谓
        d[i][j] = d[i + 1][j];  // 先假设不放进去
        if (j >= V[i]){
            // 如果能放进去且放进去的话
            d[i][j] = max(d[i][j], d[i + 1][j - V[i]] + W[i]);
        }
    }
}

如果要合并边界和一般情况，可以加一个n + 1层，使其全部初始化为0

memset(d, 0, sizeof(d));
for (int i = n; i >= 1; i--){
    // 从第n层开始
    for (int j = 0; j <= C; j++){
        d[i][j] = d[i + 1][j];  // 先假设不放进去
        if (j >= V[i]){
            d[i][j] = max(d[i][j], d[i + 1][j - V[i]] + W[i]);
        }
    }
}