8.8. In the EXACT 4 SAT problem, the input is a set of clauses, each of which is a disjunction of exactly four literals, and such that each variable occurs at most once in each clause. The goal is to find a satisfying assignment, if one exists. Prove that EXACT 4 SAT is NP-complete.

证明： 易证 EXACT 4SAT 问题是 NP 问题。已知，3SAT 问题为 NP-complete 问题，现将 3SAT 问题归约到 EXACT 4SAT，即可证明 EXACT 4SAT 为 NP-complete 问题。

对于一个 3SAT 问题，

(x¯∨y∨z¯)(x∨y¯∨z)(x∨y∨z)(x¯∨y¯)

可以向其中的每一个子句 (clause) 中添加无关的辅助变量将其扩充为一个 EXACT 4SAT 问题，扩充后问题如下

(x¯∨y∨z¯∨a1)(x∨y¯∨z∨a2)(x∨y∨z∨a3)(x¯∨y¯∨a4∨a5)

这个扩充步骤显然可以在多项式时间内完成。下面验证归约的正确性，

1. 当 EXACT 4SAT 问题有解时
   由于 a1,a2,...,a5 为无关的辅助变量，因此存在一组赋值，使得 3SAT 问题也有解。

2. 当 EXACT 4SAT 问题无解时
   用反证法证明，假设此时 3SAT 问题有解，那么 3SAT 解的一组赋值同样也是转化后的 EXACT 4SAT 的解，矛盾。因此当 EXACT 4SAT 问题无解时，3SAT 问题也无解。

综上得证，EXACT 4SAT 问题为 NP-complete 问题。