今天给大家来剖析一下PageRank。什么是PageRank？PageRank是一种网页的排名算法，由Google创始人在1977年提出并应用在Google搜索引擎中，Google搜索引擎在商业上的成功使PageRank算法受到广泛。PageRank算法可以计算出网页的得分，从而为搜索引擎在排序搜索结果页面的时候提供依据。那么这里说的得分，是怎么评判的呢？PageRank算法的核心思想有2点：
1）一页面有越多的入链，那么这个页面就越重要。入链就是指别的网页中指向该页面的链接，比如A页面中，有一个链接指向B页面，那个A页面中的指向B页面的那个链接就是B页面的一个入链。这个思想背后的含义可以理解为，有很多页面引用我，说明我的质量好，大家都愿意从别的地方来我这。就好像有一个人写了一篇文章，然后别人觉得写得很好，就会在别的地方引用它，是一个道理。
2）指向一个页面的链接所在的页面质量越高，这个链接的权重就越大。举个例子，比如有一个页面www.xxx.com，这个页面在我的这篇博客网页中被引用，和在百度首页被引用，是有很大差别的，因为我这篇博客的页面，相对于百度首页的页面，质量都不在一个档次，因此要区别对待，给予不同的权重。
以上两点就是PageRank算法的核心思想，你有可能会问，一开始时，还没用PageRank计算出质量得分，大家都没有分，我怎么知道哪个页面质量高？PageRank算法在开始时假设所有页面的重要性是一样的，然后通过迭代，让重要性通过上述两点思想得以传播，最终收敛得到每个页面最终的稳定的质量得分。
那么PageRank的计算过程是怎么样的呢？我们来看一个例子，假设现在有三个页面，用graph来表面，每个node是一个页面，node与node之间的edge是directed edge，一个node指向另一个node代表有链接指向那个页面，当然也可以是自己指向自己，就是图中的环。
上图中每个node中的字母代表该node的PageRank值，也就是质量得分，边上的权值就是每个node把自己的得分平均分配给它所指向的其它页面，比如对于得分为a的这个页面，它里面有链接指向两个其它页面，于是把自己的得分a平均分配给那两个页面，也就是图中那两边权值为a/2的边。于是每个页面的Rank值（即质量得分）可以计算如下：
r表示Rank值，dout(i)表示页面i的出度（也就是它引用了几个页面）。那么就有：
这就是一次迭代更新，每个结点把自己的Rank值传播出去，同时接收别的页面传过来的Rank值。经过多次迭代收敛能得到最终的PageRank值。这是三个结点的情况，让我们来推广到n个结点，设页面j有dj个出链，那么，如果页面j有指向页面i的链接，有向边node j –> node i 的权值就是：
否则就是：
为了使页面的Rank值在多次迭代后不至于变得很大，把页面的Rank值限定在(0,1)之间并且：
这样一来，迭代更新的过程就可以写成这样：
经过多次迭代后收敛得到PageRank值。
继续刚才那个例子：
设刚开始始时每个页面的rank值是1/3（要满足所有页面的Rank值加起来为1），则迭代过程如下：
最后收敛到6/15，6/15，3/15。
那么，会不会有些情况下不收敛呢？来看下面这个情况：
这时候迭代的情况就是：
这时就不收敛了。再来看一种情况：
注意看m那个结点比较特殊，它没有出边，但有入边，用直白的话说就是，它接收别人对它的rank分值贡献，但它自己却不贡献给别人，那么这种情况的迭代结果是怎么样的呢？大家可以猜一下~好，我们来看看结果：
最后收敛了，rank分值都被m结点给霸占了，虽然是收敛了，但这个收敛的结果显然不是我们希望的，因为这将导致m结点对应的页面rank值比其它的都高，而且其它的都是0，无法再比较了。那怎么解决呢？就是一个结点在下一次迭代的时候，给予它一定的概率随机跳到其它任意一个结点。这样的话，它就不会一直在m结点转下去了，总有跳出去的时候。
再看下面这种情况：
这种情况的迭代结果是什么呢？大家看看m结点，只进不出。。迭代的结果是：
这种情况也可以用上面说的一个结点在下一次迭代的时候，给予它一定的概率随机跳到其它任意一个结点来解决。
下面给出加入跳转概率后的rank值的迭代式子：
这就是基本的PageRank算法，实际上，PageRank算法还有很多变形，甚至是用在其它的地方，而不是用来计算网页的rank，比如可以用来在Social Network中计算结点的影响力。重要的是PageRank算法的思想，搞懂了思想之后，就可以把思想用到其它地方去，而不是生搬硬套地套算法。
