问题：
文本串 S = “BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”
模式串 P = “ABCDABD”
找出 P 在 S 中的位置。
一、 暴力匹配算法：
过程分析：
1、 S[0]为B，P[0]为A，不匹配，则 i往后移动一位，j 回到开头，即 i = i – j + 1, j = 0。相当于模式串往右移动一位（i = 1,j = 0）
2、 S[1]跟P[0]还是不匹配，则 i往后移动一位，j 回到开头，即 i = i – j + 1, j = 0。（i = 2,j = 0）
3、 一直执行以上过程，直到S[4]跟P[0]匹配成功（i=4，j=0），此时 i ++,j ++
4、 发现后六个字母是相等的，直到S[10]为空格字符，P[6]为字符D（i=10，j=6），因为不匹配，此时执行 i = i – j + 1 = 5, j = 0。
5、 i = 5，j = 0，即i 和 j 回溯，从新比较：
思考？
前面都对比过了，后面再重复这个过程干嘛！
解决方案：
KMP算法：利用之前已经部分匹配这个有效信息，保持i 不回溯，通过修改j 的位置，让模式串尽量地移动到有效的位置。
Knuth-Morris-Pratt 字符串查找算法，简称为 “KMP算法”（民间：“看毛片儿算法“），常用于在一个文本串S内查找一个模式串P 的出现位置，这个算法由Donald Knuth、Vaughan Pratt、James H. Morris三人于1977年联合发表，故取这3人的姓氏命名此算法。
再看最后一张图片：
一个基本事实是，当空格与D不匹配时，你其实知道前面六个字符是”ABCDAB”。KMP算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把”搜索位置”移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。
在这里我们先给出一个 next 数组，先别管怎么求吧，先用：
KMP算法代码如下：
继续拿之前的例子来说，当S[10]跟P[6]匹配失败时，KMP不是跟暴力匹配那样简单的把模式串右移一位，而是执行j = next[j]：“如果j != -1，且当前字符匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]”，即j 从6变到2（后面我们将求得P[6]，即字符D对应的next 值为2），所以相当于模式串向右移动的位数为j – next[j]（j – next[j] = 6-2 = 4）。
向右移动4位后，S[10]跟P[2]继续匹配。为什么要向右移动4位呢，因为移动4位后，模式串中又有个“AB”可以继续跟S[8]S[9]对应着，从而不用让i 回溯。相当于在除去字符D的模式串子串中寻找相同的前缀和后缀，然后根据前缀后缀求出next 数组，最后基于next 数组进行匹配
根据next数组，后续的匹配过程应该是这样的：
模式串向右移动4位后，发现C处再度失配，移动位数 = j – next[j] = 2 – 0 = 2
A与空格失配，移动位数 = j – next[j] = 0 – (-1) = 1
继续比较，发现D与C 失配，故向右移动的位数为：已匹配的字符数6减去上一位字符B对应的最大长度2，即向右移动6 – 2 = 4 位。
最终匹配成功，过程结束。
关键来了！！！
next数组咋弄？
稳住了各位，如果上面的过程弄懂了，那求next数组的过程就变得很简单了。
先看代码：
跟kmp算法的代码很像有木有！其实求next数组无非就是模式串本身的自我匹配过程
求next数组的过程，其实是求前缀后缀最长公共元素长度的过程：
对于P = p0 p1 …pj-1 pj，寻找模式串P中长度最大且相等的前缀和后缀。如果存在p0 p1 …pk-1 pk = pj- k pj-k+1…pj-1 pj，那么在包含pj的模式串中有最大长度为k+1的相同前缀后缀。举个例子，如果给定的模式串为“abab”，那么它的各个子串的前缀后缀的公共元素的最大长度如下表格所示：
比如对于字符串aba来说，它有长度为1的相同前缀后缀a；而对于字符串abab来说，它有长度为2的相同前缀后缀ab（相同前缀后缀的长度为k + 1，k + 1 = 2）。
next 数组考虑的是除当前字符外的最长相同前缀后缀，所以通过第①步骤求得各个前缀后缀的公共元素的最大长度后，只要稍作变形即可：将第①步骤中求得的值整体右移一位，然后初值赋为-1，如下表格所示：
比如对于aba来说，第3个字符a之前的字符串ab中有长度为0的相同前缀后缀，所以第3个字符a对应的next值为0；而对于abab来说，第4个字符b之前的字符串aba中有长度为1的相同前缀后缀a，所以第4个字符b对应的next值为1（相同前缀后缀的长度为k，k = 1）。
通过代码分析next数组的求解过程：
1、 已知前一步计算时最大相同的前后缀长度为k（k>0），即P[0]···P[k-1]；
也就是对于值k，已有p0 p1, …, pk-1 = pj-k pj-k+1, …, pj-1，相当于next[j] = k。
此意味着什么呢？究其本质，next[j] = k 代表p[j] 之前的模式串子串中，有长度为k 的相同前缀和后缀
2、 下面的问题是：已知next [0, …, j]，如何求出next [j + 1]呢？
对于P的前j+1个序列字符：
• 若p[k] == p[j]，则next[j + 1] = next [j] + 1 = k + 1；
• 若p[k] ≠ p[j]，如果此时p[ next[k] ] == p[j]，则next[ j + 1 ] = next[k] + 1，否则继续递归前缀索引k = next[k]，而后重复此过程。 相当于在字符p[j+1]之前不存在长度为k+1的前缀”p0 p1, …, pk-1 pk”跟后缀“pj-k pj-k+1, …, pj-1 pj”相等，那么是否可能存在另一个值t+1 < k+1，使得长度更小的前缀 “p0 p1, …, pt-1 pt” 等于长度更小的后缀 “pj-t pj-t+1, …, pj-1 pj” 呢？如果存在，那么这个t+1 便是next[ j+1]的值，此相当于利用已经求得的next 数组（next [0, …, k, …, j]）进行P串前缀跟P串后缀的匹配。
此过程相当于模式串的自我匹配，所以不断的递归k = next[k]，直到要么找到长度更短的相同前缀后缀，要么没有长度更短的相同前缀后缀
KMP算法时间复杂度分析：
分析之前，先来回顾下KMP匹配算法的流程：
“KMP的算法流程：
• 假设现在文本串S匹配到 i 位置，模式串P匹配到 j 位置
• 如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++，继续匹配下一个字符；
• 如果j != -1，且当前字符匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]。此举意味着失配时，模式串P相对于文本串S向右移动了j – next [j] 位。”
我们发现如果某个字符匹配成功，模式串首字符的位置保持不动，仅仅是i++、j++；如果匹配失配，i 不变（即 i 不回溯），模式串会跳过匹配过的next [j]个字符。整个算法最坏的情况是，当模式串首字符位于i – j的位置时才匹配成功，算法结束。
所以，如果文本串的长度为n，模式串的长度为m，那么匹配过程的时间复杂度为O(n)，算上计算next的O(m)时间，KMP的整体时间复杂度为O(m + n)。
本文大部分参考资料：《从头到尾彻底理解KMP》
