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最长递增子序列 http://blog.csdn.net/lisonglisonglisong/article/details/45241965
最长递增子序列(Longest Increasing Subsequence)是指找到一个给定序列的最长子序列的长度,使得子序列中的所有元素单调递增。
例如:{ 3,5,7,1,2,8 } 的 LIS 是 { 3,5,7,8 },长度为 4。
解法一:转化为求最长公共子序列
其实可以把 求最长递增子序列问题 转化为 求最长公共子序列的问题。
- 设数组 { 3, 5, 7, 1, 2, 8 } 为 A
- 对数组 A 排序,排序后的数组为 B = { 1, 2, 3, 5, 7, 8 }。
- 于是,求数组 A 的最长递增子序列,就是求数组 A 与数组 B 的最长公共子序列。
最长公共子序列的求法见《动态规划DP》。本方法的时间复杂度是
Θ(nlgn)+Θ(n2)=Θ(n2)
解法二:动态规划法
虽然解法一也是使用动态规划,但是与解法一不同的是,解法二不进行转化,而是直接在原问题上采用动态规划法。
最优子结构:
对于长度为 N 的数组 A[N]={a0,a1,a2,…,an−1},假设我们想求以ai 结尾的最大递增子序列长度,设为L[i],那么
L[i]=⎧⎩⎨max(L[j])+1,1,where j<i and A[j]<A[i]otherwise
也就是 j 的范围是 0 到 i–1。这样,想求ai 结尾的最大递增子序列的长度,我们就需要遍历 i 之前的所有位置 j(0到 i-1),找出A[j]<A[i],计算这些j 中,能产生最大 L[j] 的 j,之后就可以求出L[i]。之后对每一个A[N]中的元素都计算以他们各自结尾的最大递增子序列的长度,这些长度的最大值,就是我们要求的问题——数组A的最大递增子序列的长度。
重叠子问题:
根据上述推导式采用递归实现的话,有些子问题会被计算很多次。
动态规划法:
综上所述,LIS 问题具有动态规划需要的两个性质,可以使用动态规划求解该问题。设数组 A = { 3,5,7,1,2,8 },则:
具体的打表方式如下:
- 初始化对角线为 1;
- 对每一个 i,遍历 j(0 到 i-1):
- 若
A[i] <= A[j]
,置 1。 - 若
A[i] > A[j]
,取第 j 行的最大值加 1。
- 若
打完表以后,最后一行的最大值就是最长递增子序列的长度。由于每次都进行遍历,故时间复杂度还是 Θ(n2) 。 c
// LIS 的动态规划方式实现
#include <iostream>
using namespace std;
int getLISLength(int A[], int len) {
//定义一维数组并初始化为1
int* lis = new int[len];
for (int i = 0; i < len; ++i)
lis[i] = 1;
// 计算每个i对应的lis最大值,即打表的过程
for (int i = 1; i < len; ++i)
for (int j = 0; j < i; ++j) // 0到i-1
if ( A[i] > A[j] && lis[i] < lis[j] + 1)
lis[i] = lis[j] + 1; // 更新
// 数组中最大的那个,就是最长递增子序列的长度
int maxlis = 0;
for (int i = 0; i < len; ++i)
if ( maxlis < lis[i] )
maxlis = lis[i];
delete [] lis;
return maxlis;
}
解法三:Θ(nlgn)的方案
本解法的具体操作如下:
- 建立一个辅助数组array,依次读取数组元素 x 与数组末尾元素 top比较:
- 如果 x > top,将 x 放到数组末尾;
- 如果 x < top,则二分查找数组中第一个 大于等于x 的数,并用 x 替换它。
遍历结束之后,最长递增序列长度即为栈的大小。
注意c数组的下标代表的是子序列的长度,c数组中的值也是按递增顺序排列的。这才可能用二分查找。
数组array[i]存储的是子序列长度为i的序列最后一个值(该值是该子序列中最大的元素;如果长度为i的序列有多个,那么array[i]存放这类序列最后元素中的最小一个) cop
int getLISLength(int num[], int length) {
vector<int> ivec;
for (int i = 0; i < length; ++i) {
if (ivec.size() == 0 || ivec.back() < num[i])
ivec.push_back(num[i]);
else {
int low = 0, high = ivec.size() - 1;
while (low < high) {
int mid = (low + high) / 2;
if (ivec[mid] < num[i])
low = mid + 1;
else
high = mid - 1;
}
ivec[low] = num[i];
}
}
return ivec.size();
}
特别注意的是:本方法只能用于求最长递增子序列的长度,辅助数组中的序列不是最长递增子序列:
例一:原序列为1,5,8,3,6,7
辅助数组为1,5,8,此时读到3,用3替换5,得到1,3,8; 再读6,用6替换8,得到1,3,6;再读7,得到最终栈为1,3,6,7。最长递增子序列为长度4。例二:原序列为1,5,8,3
则最栈辅助数组为1,3,8。明显这不是最长递增子序列!