一、神经网络算法的优点及其适用范围

先看如上一个例子，这是一个非线性的分类问题，我们如要对其进行正确区分的话可能需要用到 x1 、 x2 的三次项，如上图右边公式。而当我们分类问题变得复杂，不仅仅是两个特征变量能够区别开的，而甚至有100或更多的特征变量。假设有特征 x1,x2...x100 ，且仅仅考虑二次项的话，需要有5000项。且最后结果很可能由于项数过多而发生过拟合的现象。
而现实中很多分类问题，其输入特征都要远远的大于100.例如我们要对一些图片进行分类，来区分哪些图片是汽车，哪些不是汽车的图片。所以如下图，我们从图片中拿出50*50像素的区域作为输入。此时就有2500个输入变量，若图片为RGB三色的图，将有7500个输入变量。

若有这么多的变量，再使用梯度下降法将会带来巨大的计算复杂度，这也正是本文要介绍的神经网络算法处理数据的优点。
二、模型建立

大脑中的神经元如上图，有无数的树突作为数据的输入，然后相邻的神经元之间还会有信息的传递，最终产生相应的输出结果。输入、传递和输出对应的神经网络模型中的输入层、隐藏层与输出层，如下图

每一个输入变量 xi 都与隐藏层的所有变量相连，也就是每一个隐藏层的单元与其上一层输入层的所有输入都相关；相同的在隐藏层与输出层之间也存在着相同的关系。所有其对应的权重矩阵有如下这样的关系。

a(j)i :第j层第i个单元
Θ(j) ：从第j层到第j+1层的权重矩阵
如果在第 j 层有 sj 个单元，在 j+1 层有 sj+1 个单元，则 Θ(j) 矩阵维度为 sj+1 x (sj+1) （第 j 层包含偏置变量 a(j)0 ）

a**三、例子**
第一个例子为计算机中的与运算、或运算


上述例子中，只有输入层和输出层没有隐藏层，下面例子中将上述与运算和或运算结合在一起，组成了异或运算。其中
a(2)1=x1 and x2
a(2)2= (~ x1 ) and (~ x2 )
a(3)1=a(2)1|a(2)2

四、多类别分类问题

对于多类别分类问题，其输出为矩阵的形式，输入项输入哪一类，则对应输出矩阵中这项为1，其余为0.