搞ACM也有三年了，期间学习了不少算法，到12月把上海站打完也要成退役狗了。最近突然想把学过的一些算法回过头来好好总结一下，于是就有了我的算法总结系列。这是这个系列的开端，所以先写一个简单点的算法，以后会慢慢复习一些复杂的算法，最后还是希望自己能够坚持下去吧。
KMP算法
KMP算法是一种线性时间复杂度的字符串匹配算法，它是对BF（Brute-Force,最基本的字符串匹配算法）的改进。对于给定的原始串S和模式串T，需要从字符串S中找到字符串T出现的位置的索引。KMP算法由D.E.Knuth与V.R.Pratt和J.H.Morris同时发现，因此人们称它为Knuth–Morris–Pratt算法，简称KMP算法。在讲解KMP算法之前，有必要对它的前身–BF算法有所了解，因此首先将介绍最朴素的BF算法。
一：BF算法简介
如上图所示，原始串S=abcabcabdabba,模式串为abcabd。（下标从0开始）从s[0]开始依次比较S[i] 和T[i]是否相等，直到T[5]时发现不相等,这时候说明发生了失配，在BF算法中，发生失配时，T必须回溯到最开始，S下标+1，然后继续匹配，如下图所示：
这次立即发生了失配，所以继续回溯，直到S开始下表增加到3，匹配成功。
容易得到，BF算法的时间复杂度是O(n*m)的，其中n为原始串的长度，m为模式串的长度。BF的代码实现也非常简单直观，这里不给出，因为下一个介绍的KMP算法是BF算法的改进，其时间复杂度为线性O(n+m)，算法实现也不比BF算法难多少。
二：KMP算法
前面提到了朴素匹配算法，它的优点就是简单明了，缺点当然就是时间消耗很大，既然知道了BF算法的不足，那么就要对症下药，设计一种时间消耗小的字符串匹配算法。
KMP算法就是其中一个经典的例子，它的主要思想就是：
在匹配匹配过程中发生失配时，并不简单的从原始串下一个字符开始重新匹配，而是根据一些匹配过程中得到的信息跳过不必要的匹配，从而达到一个较高的匹配效率。
还是前面的例子，原始串S=abcabcabdabba,模式串为abcabd。当第一次匹配到T[5]!=S[5]时，KMP算法并不将T的下表回溯到0，而是回溯到2，S下标继续从S[5]开始匹配，直到匹配完成。
那么为什么KMP算法会知道将T的下标回溯到2呢？前面提到，KMP算法在匹配过程中将维护一些信息来帮助跳过不必要的检测，这个信息就是KMP算法的重点 –next数组。（也叫fail数组，前缀数组）。
1：next数组
（1）next数组的定义：
设模式串T[0,m-1]，（长度为m）,那么next[i]表示既是是串T[0,i-1]的后缀又是串T[0,i-1]的前缀的串最长长度(不妨叫做前后缀)，注意这里的前缀和后缀不包括串T[0,i-1]本身。
如上面的例子，T=abcabd,那么next[5]表示既是abcab的前缀又是abcab的后缀的串的最长长度，显然应该是2，即串ab。注意到前面的例子中，当发生失配时T回溯到下表2，和next[5]数组是一致的，这当然不是个巧合，事实上，KMP算法就是通过next数组来计算发生失配时模式串应该回溯到的位置。
（2）next数组的计算：
这里介绍一下next数组的计算方法。
设模式串T[0,m-1],长度为m，由next数组的定义，可知next[0]=next[1]=0，（因为这里的串的后缀，前缀不包括该串本身）。
接下来，假设我们从左到右依次计算next数组，在某一时刻，已经得到了next[0]~next[i],现在要计算next[i+1]，设j=next[i]，由于知道了next[i]，所以我们知道T[0,j-1]=T[i-j,i-1],现在比较T[j]和T[i]，如果相等，由next数组的定义，可以直接得出next[i+1]=j+1。
如果不相等，那么我们知道next[i+1]<j+1，所以要将j减小到一个合适的位置po，使得po满足:
1）T[0,po-1]=T[i-po,i-1]。
2）T[po]=T[i]。
3）po是满足条件(1),(2)的最大值。
4）0<=po<j（显然成立）。
如何求得这个po值呢？事实上，并不能直接求出po值，只能一步一步接近这个po，寻找当前位置j的下一个可能位置。如果只要满足条件(1)，那么j就是一个，那么下一个满足条件(1)的位置是什么呢？，由next数组的定义，容易得到是next[j]=k，这时候只要判断一下T[k]是否等于T[i]，即可判断是否满足条件(2),如果还不相等，继续减小到next[k]再判断，直到找到一个位置P,使得P同时满足条件(1)和条件(2)。我们可以得到P一定是满足条件(1),(2)的最大值，因为如果存在一个位置x使得满足条件(1),(2),(4)并且x>po,那么在回溯到P之前就能找到位置x，否则和next数组的定义不符。在得到位置po之后，容易得到next[i+1]=po+1。那么next[i+1]就计算完毕，由数学归纳法，可知我们可以求的所有的next[i]。(0<=i<m)
注意：在回溯过程中可能有一种情况,就是找不到合适的po满足上述4个条件，这说明T[0,i]的最长前后缀串长度为0，直接将next[i+1]赋值为0,即可。
//计算串str的next数组
int GETNEXT(char *str,int next)
{
int len=strlen(str);
next[0]=next[1]=0;//初始化
for(int i=1;i<len;i++)
{
int j=next[i];
while(j&&str[i]!=str[j])//一直回溯j直到str[i]==str[j]或j减小到0
j=next[j];
next[i+1]=str[i]==str[j]?j+1:0;//更新next[i+1]
}
return len;//返回str的长度
}
以上是计算next数组的代码实现。是不是非常简短呢。
2.KMP匹配过程
有了next数组，我们就可以通过next数组跳过不必要的检测，加快字符串匹配的速度了。那么为什么通过next数组可以保证匹配不会漏掉可匹配的位置呢？
首先，假设发生失配时T的下标在i，那么表示T[0,i-1]与原始串S[l,r]匹配,设next[i]=j，根据KMP算法，可以知道要将T回溯到下标j再继续进行匹配，根据next[i]的定义，可以得到T[0,j-1]和S[r-j+1,r]匹配，同时可知对于任何j<y<i，T[0,y]不和S[r-y,r]匹配，这样就可以保证匹配过程中不会漏掉可匹配的位置。
同next数组的计算，在一般情况下，可能回溯到next[i]后再次发生失配，这时只要继续回溯到next[j]，如果不行再继续回溯，最后回溯到next[0]，如果还不匹配，这时说明原始串的当前位置和T的开始位置不同，只要将原始串的当前位置+1，继续匹配即可。
下面给出KMP算法匹配过程的代码:
//返回S串中第一次出现模式串T的开始位置
int KMP(char *S,char *T)
{
int l1=strlen(S),l2=GETNEXT(T);//l2为T的长度,getnext函数将在下面给出
int i,j=0,ans=0;
for(i=0;i<l1;i++)
{
while(j&&S[i]!=T[j])//发生失配则回溯
j=next[j];
if(S[i]==T[j])
j++;
if(j==l2)//成功匹配则退出
break;
}
if(j==l2)
return i-l2+1;//返回第一次匹配成功的位置
else
return -1;//若匹配不成功则返回-1
}3.时间复杂度分析
前面说到，KMP算法的时间复杂度是线性的，但这从代码中并不容易得到，很多读者可能会想，如果每次匹配都要回溯很多次，是不是会使算法的时间复杂度退化到非线性呢？
其实不然，我们对代码中的几个变量进行讨论，首先是kmp函数，显然决定kmp函数时间复杂度的变量只有两个，i和j，其中i只增加了len次，是O(len)的，下面讨论j,因为由next数组的定义我们知道next[j]<j,所以在回溯的时候j至少减去了1，并且j保证是个非负数。另外，由代码可知j最多增加了len次，且每次只增加了1。简单来说，j每次增加只能增加1，每次减小至少减去1，并且保证j是个非负数，那么可知j减小的次数一定不能超过增加的次数。所以，回溯的次数不会超过len。综上所述，kmp函数的时间复杂度为O(len)。同理，对于计算next数组同样用类似的方法证明它的时间复杂度为O(len),这里不再赘述。对于长度为n的原始串S，和长度为m的模式串T，KMP算法的时间复杂度为O(n+m)。
到这里，KMP算法的实现已经完毕。但是这还不是最完整的的KMP算法，真正的KMP算法需要对next数组进行进一步优化，但是现在的算法已经达到了时间复杂度的下线，而且，现在的next数组的定义保留了一些非常有用的性质，这在解决一些问题时是很有帮助的。
对于优化后的KMP算法，有兴趣的朋友可以自行查阅相关资料。
