BF算法和KMP算法

    子串的定位操作通常被称作串的模式匹配，所谓的模式匹配即从较长的字符串S（主串）的pos位置处开始寻找字符串P（模式串）首次出现的位置，模式匹配算法经典的有BF算法和KMP算法。

1、BF算法

    BF算法的思想是从主串的第pos个字符起和模式的第一字符比较，若相等，则继续比较后续字符；若主串与模式串不是完全匹配，则回溯至主串的第pos+1个字符起和模式的第一个字符比较，若相等，则继续比较后续字符，否则继续重复上述回溯机制，直至找到主串中第一次包含子串的的位置，其图例如下：

    因此，BF算法如下所示：

2、KMP算法引文——BF算法分析

    由上面的分析可知，BF算法是基于主串指针回溯，重新与子串进行逐字符进行比较，主串为S什么要进行回溯呢，原因在于模式P中存在相同的字符或者说由字符（串）存在重复（模式的部分匹配性质），设想如果模式P中字符各不相同，主串就S的指针就根本不需要回溯；然而，我们可以发现在主串S与模式发生失配时，主串指针进行回溯会影响效率，因为由于模式S本身字符的部分部分匹配性质，回溯之后，主串S与模式P有些部分比较是没有必要的，这就是对BF算法所要改进的地方。

3、KMP算法原理

    KMP算法就是针对BF算法的缺点所提出的，其关键就是，主串S与模式P发生失配时，如果主串S指针不进行回溯，那么下面应该与模式中那个位置的字符进行比较呢？一旦在模式中找到这样的位置，说明我们不需要每次与模式P重新开始匹配，这就意味着KMP算法会直接跨过较多的位数，起到加速的作用。

    从上面的分析我们可以隐约感觉到，当S[i]与P[j]发生失配时，与S[i]进行下一次比较的P[next(j)]（next(j)表示发生失配时，与S[i]进行的比较的模式P中的字符位置），是由模式P本身固有的性质决定的，即上文2所提的BF回溯的原因，模式P本身的部分匹配性质。这就意外着，只要模式P给定，模式P与任意给定的主串发生失配时，模式P每一位对应的跳转位置是固定的，即可以事先确定。用数学语言来说就是，模式P通过自身的部分匹配性质映射了一个相同长度的跳转位置数组（专业叫后缀数组，文中用next数组表示），下面我们首先分析确定next数组的数学原理。

S：S₀, S₁, S₂,…, S_i-j, S_i-j+1, …………….., S_i-1, S_i, S_i+1,…….., S_n

P：           P₀, P₁,P₂, ………………, P_j-1, Pj,………,P_m

P：                   P₀, P₁, P₂, ……, P_k-1,Pk,……,P_j-k, P_j-k+1…, P_j-1,P_j, ………P_m

    假设S[i]与P[j]发生失配（以红色表示），我们找到了跳转的位置k，即next[j]=k（蓝色表示），则可以得到下面几个数学关系：

    失配时：P[0,1,2……,j-2,j-1] = S[i-j,i-j+1,…….,i-2,i-1]；（1）

    跳转后：P[0,1,2……,k-2,k-1] = S[i-k,i-k+1,…….,i-2,i-1]；（2）

    结合（1）、（2）得：

S[i-k,i-k+1,…….,i-2,i-1]= P[j-k,j-k+1,……,j-2,j-1] = P[0,1,2……,k-2,k-1]；（3）

    由（3）式可知，P[j-k,j-k+1,……,j-2,j-1] = P[0,1,2……,k-2,k-1]，等号左右两边恰好是P[0,1,2……,j-2,j-1]的前缀和后缀的相等部分（好好体会前缀和后缀概念），且这个相等部分的长度等于k即next[j]。

    由上数学分析可知，KMP算法每一次匹配都是基于前一次匹配的结果（前一次的结果丰富记录了模式P的性质），那么我们就要在前一次基础上，分析模式P的重复特性，找出前缀和后缀相同部分的长度求出next数组，下面给出next数组的递推算法。

4、next数组与KMP算法

    我们看到，求取next数组是KMP算法的核心，我们假设已知k=next[j]，即有：

P[j-k,j-k+1,……,j-2,j-1]= P[0,1,2……,k-2,k-1]

则S[i+1]与P[j+1]发生失配时：

    （1）P[j]=P[k]，则表明模式P中：

P[j-k,j-k+1,……,j-2,j-1,j]= P[0,1,2……,k-2,k-1,k]

显然，我们容易得到：next[j+1] = k + 1=next[j]+ 1；

    （2）P[j]!=P[k]，则表明模式串P中：

P[j-k,j-k+1,……,j-2,j-1,j]!= P[0,1,2……,k-2,k-1,k]

此时将求next数组的问题转化一个模式匹配问题，由上式的形式可以看出，将模式串P既看做主串有看做模式串，则在当前的模式匹配中，已经有：

P[j-k,j-k+1,……,j-2,j-1]= P[0,1,2……,k-2,k-1]

则由（1）的思想，若next[k]=k′且P[j]=P[k′]，则：

P[j- k′,j- k′+1,……,j-2,j-1,j]= P[0,1,2……, k′-2, k′-1, k′]

    这就是说，next[j+1]= k′ + 1 = next[k] + 1。同理，若P[j]!=P[k′]，继续按执行（2）的思想执行。

    按照上述递推思想得到获取next数组的算法如下：

    上面的算法还任然有缺陷，若S[i]与P[j]发生失配时，若出现，P[j]=P[next(j)]时，还按照上述算法进行，仍然不是最有效率的，此时可以跳过更多的步数，具体修改如下：

    则完整的KMP算法如下：

5、时间和空间复杂度分析