重要应用：在负权的图的单源最短路问题

Bellman-Ford 算法和 Dijkstra 算法都是可以解决单源最短路径的算法，一个实现的很好的 Dijkstra 算法比 Bellman-Ford 算法的运行时间要低，但dijkstra算法无法解决存在负权环的图的单源最短路问题（因为dijkstra算法每循环一次，确定一条到某个顶点的最短路，之所以能确定，是因为每条边都是正值，若到达其他顶点的最短路经过该顶点，则最短路总权值会更大）。

Bellman-Ford 算法描述：

如求下图单源最短路径，以1为源点,求到各顶点的最短路径，黑色代表权值，红色代表第几条边（是第几条边在实际中会不同，这里是假设 ）

1.初始化：
将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] =+∞,源顶点距离为 0；

2.迭代求解计算最短路径：
执行 V – 1 次 (遍历一条最短路径经过的点最多是v-1个嘛，所有松弛|v|-1次后最短路必然会出现！)；
反复对边集e中的每条边进行松弛操作，（即如果起点 u 的距离 d 加上边的权值 w 小于终点 v 的距离 d，则更新终点 v 的距离值 d），使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；

第一次循环：
从第一条边开始到第十条边进行松弛操作；

得到下图：

第二次循环：
也是从第一条边开始到第十条边进行松弛操作；与上面同理；
得到如图；

第三次循环：
也是从第一条边开始到第十条边进行松弛操作；与上面同理；
因为第三次循环发现任何没有任何一个更新，说明到各个顶点的最短路都已经找到，break；跳出循环，结束

3.检验负权回路：
遍历图中的所有边，计算 u 至 v 的距离，如果对于 v 存在更小的距离，则说明存在环（因为经过上面步骤二， 如果不存在负环，则到各点的最短路已经确定）；

     for(i=1;i<=enum;i++) //检查有无负权环 
     {  
          if(d[edge[i].v]>dis[e[i].u]+edge[i].w)  
          {  
               flag = false;//存在负环 
               break;  
          }  
     } 

代码：无路径

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define Max 99999
int m,n,d[10000];//n条边 
struct Edge{
    int u;
    int v;
    int w;
}e[10000];

bellmenford(int root){
    int i,j,k;
    for(i=1;i<=m;i++){
        d[i]=Max;
    }
    d[root]=0;
    for(k=0;k<m-1;k++){//循环k-1次 
        for(i=1;i<=n;i++){//循环每条边 
            if(d[e[i].v]>d[e[i].u]+e[i].w){//如果起点 u 的距离 d 加上边的权值 w 小于终点 v 的距离 d，则更新终点 v 的距离值 d
                d[e[i].v]=d[e[i].u]+e[i].w;
            }
        } 
    }
    for(i=1;i<=n;i++){//判断负环 
        if(d[e[i].v]>d[e[i].u]+e[i].w){
            printf("NO");
            return 0;
        }
    }
    for(i=1;i<=m;i++){
        printf("%d ",d[i]);
    }
}

int main(){
    int i,j,k=1;
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d",&e[k].u,&e[k].v,&e[k].w);
        k++;
    }
    bellmenford(1);
    return 0;
} 

有路径输出：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define Max 99999
int m,n,d[10000],pre[10000];//n条边,d[]表示到某顶点的总权值，pre[]记录路径 
struct Edge{
    int u;
    int v;
    int w;
}e[10000];

bellmenford(int root){
    int i,j,k;
    for(i=1;i<=m;i++){
        d[i]=Max;
        pre[i]=root;//初始化到各顶点的路径的起点为源点 
    }
    d[root]=0;
    for(k=0;k<m-1;k++){//循环k-1次 
        for(i=1;i<=n;i++){//循环每条边 
            if(d[e[i].v]>d[e[i].u]+e[i].w){//如果起点 u 的距离 d 加上边的权值 w 小于终点 v 的距离 d，则更新终点 v 的距离值 d
                d[e[i].v]=d[e[i].u]+e[i].w;
                pre[e[i].v]=e[i].u;//到v点经过u点 
            }
        } 
    }
    for(i=1;i<=n;i++){//判断负环 
        if(d[e[i].v]>d[e[i].u]+e[i].w){
            printf("NO");
            return 0;
        }
    }
    for(i=1;i<=m;i++){
        printf("%d %d ",d[i],i);
        j=i;
        while(pre[j]!=root){
            printf("%d ",pre[j]);
            j=pre[j];
        }
        if(i!=root)printf("%d",root);
        printf("\n");
    }
}

int main(){
    int i,j,k=1;
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d",&e[k].u,&e[k].v,&e[k].w);
        k++;
    }
    bellmenford(1);
    return 0;
}