B – 畅通工程续
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Description

某省自从实行了很多年的畅通工程计划后，终于修建了很多路。不过路多了也不好，每次要从一个城镇到另一个城镇时，都有许多种道路方案可以选择，而某些方案要比另一些方案行走的距离要短很多。这让行人很困扰。 

现在，已知起点和终点，请你计算出要从起点到终点，最短需要行走多少距离。  

Input

本题目包含多组数据，请处理到文件结束。 

每组数据第一行包含两个正整数N和M(0<N<200,0<M<1000)，分别代表现有城镇的数目和已修建的道路的数目。城镇分别以0～N-1编号。 

接下来是M行道路信息。每一行有三个整数A,B,X(0<=A,B<N,A!=B,0<X<10000),表示城镇A和城镇B之间有一条长度为X的双向道路。 

再接下一行有两个整数S,T(0<=S,T<N)，分别代表起点和终点。  

Output

对于每组数据，请在一行里输出最短需要行走的距离。如果不存在从S到T的路线，就输出-1. 

Sample Input

3 3 0 1 1 0 2 3 1 2 1 0 2 3 1 0 1 1 1 2  

Sample Output

2 -1

#include <algorithm>  
#include <iostream>  
#include <cstring>  
#include <cstdlib>  
#include <cstdio>  
#define inf 999999  
using namespace std;  
  
int map[500][500];  
int n,m;  
int i,j,k;  
int s,e;  
int x,y,z;  
int dis[500];  
  
void bellman(int n)  
{  
    for (i=0; i<n; i++)  
    {  
         dis[i]=map[s][i];//初始化  
    }  
    for (i=0; i<n-1; i++)  
    {  
        for (j=0; j<=n-1; j++)  
        {  
            if (j!=s)  
            {  
                for (k=0; k<=n-1; k++)  
                {  
                    if (dis[j]>dis[k]+map[k][j])//松弛（顺序一定不能反~）    
                        dis[j]=dis[k]+map[k][j];  
                }  
            }  
        }  
    }  
  
    if (dis[e]==inf)  
        printf("-1\n");  
    else  
        printf("%d\n",dis[e]);  
}  
int main()  
{  
    while (scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)  
    {  
        for(i=0; i<n; i++)  
        {  
            for(j=0; j<n; j++)  
            {  
                map[i][j]=inf;  
            }  
            map[i][i]=0;  
        }  
        for (i=0; i<m; i++)  
        {  
            scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);  
            if (map[x][y]>z)  
            {  
                map[x][y]=map[y][x]=z;  
            }  
        }  
        scanf("%d%d",&s,&e);  
        bellman(n);  
    }  
    return 0;  
}  

最短路径之bellman-ford算法

Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法，但它局限于边的权值非负的情况，若图中出现权值为负的边，Dijkstra算法就会失效，求出的最短路径就可能是错的。这时候，就需要使用其他的算法来求解最短路径，Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼（Richard Bellman, 动态规划的提出者）和小莱斯特•福特（Lester Ford）发明。Bellman-Ford算法的流程如下：
给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，

• 数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0；
•  
  以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
  对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
  若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；
• 为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

首先介绍一下松弛计算。如下图：

松弛计算之前，点B的值是8，但是点A的值加上边上的权重2，得到5，比点B的值（8）小，所以，点B的值减小为5。这个过程的意义是，找到了一条通向B点更短的路线，且该路线是先经过点A，然后通过权重为2的边，到达点B。
当然，如果出现一下情况

则不会修改点B的值，因为3＋4>6。
 
Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
 
之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。
考虑如下的图：
 

经过第一次遍历后，点B的值变为5，点C的值变为8，这时，注意权重为－10的边，这条边的存在，导致点A的值变为－2。（8＋ －10＝－2）
 
 

第二次遍历后，点B的值变为3，点C变为6，点A变为－4。正是因为有一条负边在回路中，导致每次遍历后，各个点的值不断变小。
 
在回过来看一下bellman－ford算法的第三部分，遍历所有边，检查是否存在d（v） > d (u) + w(u,v)。因为第二部分循环的次数是定长的，所以如果存在无法收敛的情况，则肯定能够在第三部分中检查出来。比如
 

此时，点A的值为－2，点B的值为5，边AB的权重为5，5 > -2 + 5. 检查出来这条边没有收敛。
 
所以，Bellman－Ford算法可以解决图中有权为负数的边的单源最短路径问。