单源最短路径

给定一个图,和一个源顶点src,找到从src到其它所有所有顶点的最短路径，图中可能含有负权值的边。

Dijksra的算法是一个贪婪算法,时间复杂度是O(VLogV)(使用最小堆)。但是迪杰斯特拉算法在有负权值边的图中不适用,Bellman-Ford适合这样的图。在网络路由中，该算法会被用作距离向量路由算法。

Bellman-Ford也比迪杰斯特拉算法更简单和同时也适用于分布式系统。但Bellman-Ford的时间复杂度是O(VE),这要比迪杰斯特拉算法慢。（V为顶点的个数,E为边的个数）

算法描述

输入:图 和 源顶点src
输出:从src到所有顶点的最短距离。如果有负权回路(不是负权值的边),则不计算该最短距离，没有意义，因为可以穿越负权回路任意次，则最终为负无穷。

算法步骤

1.初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 dist[v] ← +∞, dist[s] ←0;
2.迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）
3.检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 dist[v]中。

关于该算法的证明也比较简单，采用反证法，具体参考：http://courses.csail.mit.edu/6.006/spring11/lectures/lec15.pdf
该算法是利用动态规划的思想。该算法以自底向上的方式计算最短路径。
它首先计算最多一条边时的最短路径(对于所有顶点)。然后,计算最多两条边时的最短路径。外层循环需要执行|V|-1次。

例子

一下面的有向图为例：给定源顶点是0，初始化源顶点距离所有的顶点都是是无穷大的,除了源顶点本身。因为有5个顶点，因此所有的边需要处理4次。

按照以下的顺序处理所有的边：(B,E), (D,B), (B,D), (A,B), (A,C), (D,C), (B,C), (E,D).
第一次迭代得到如下的结果(第一行为初始化情况,最后一行为最终结果)：

当 (B,E), (D,B), (B,D) 和 (A,B) 处理完后，得到的是第二行的结果。
当 (A,C) 处理完后，得到的是第三行的结果。
当 (D,C), (B,C) 和 (E,D) 处理完后，得到第四行的结果。

第一次迭代保证给所有最短路径最多只有1条边。当所有的边被第二次处理后，得到如下的结果(最后一行为最终结果)：

第二次迭代保证给所有最短路径最多只有2条边。我们还需要2次迭代(即所谓的松弛操作)，就可以得到最终结果。

代码

/*------------------------------------- * 题目: Bellman-Ford算法(单源最短路径) * 博客： ------------------------------------*/
#include <iostream>
using namespace std;

//表示一条边
struct Edge{
    // 起点
    int src;
    // 终点
    int dest;
    // 权重
    int weight;
};
//带权值的有向图
struct Graph{
    // 顶点的数量
    int V;
    // 边的数量
    int E;
    // 用边的集合 表示一个图
    Edge* edge;
};
// 创建图
Graph* CreateGraph(int v,int e){
    Graph* graph = (Graph*)malloc(sizeof(Graph));
    graph->E = e;
    graph->V = v;
    graph->edge = (Edge*)malloc(e*sizeof(Edge));
    return graph;
}
// 打印结果
void Print(int dist[],int n){
    cout<<"单源最短路径:"<<endl;
    for(int i = 0;i < n;++i){
        if(dist[i] == INT_MAX){
            cout<<"与节点"<<i<<"距离->无穷大"<<endl;
        }//if
        else{
            cout<<"与节点"<<i<<"距离->"<<dist[i]<<endl;
        }
    }//for
}
// 单源最短路径
bool BellmanFord(Graph* graph,int src){
    int v = graph->V;
    int e = graph->E;
    // 存储距离
    int dist[v];
    // 初始化
    for(int i = 0;i < v;++i){
        dist[i] = INT_MAX;
    }//for
    dist[src] = 0;
    // v-1次操作
    Edge edge;
    int a,b,weight;
    for(int i = 1;i < v;++i){
        // 对e条边进行松弛
        for(int j = 0;j < e;++j){
            edge = graph->edge[j];
            a = edge.src;
            b = edge.dest;
            weight = edge.weight;
            if(dist[a] != INT_MAX && dist[a]+weight < dist[b]){
                dist[b] = dist[a]+weight;
            }//if
        }//for
    }//for
    // 检测负权回路
    bool isBack = false;
    for(int i = 0;i < e;++i){
        edge = graph->edge[i];
        a = edge.src;
        b = edge.dest;
        weight = edge.weight;
        if(dist[a] != INT_MAX && dist[a]+weight < dist[b]){
            isBack = true;
            break;
        }//if
    }//for
    // 打印结果
    Print(dist,v);
    return isBack;
}

int main(){
    int v = 7;
    int e = 9;

    Graph* graph = CreateGraph(v,e);

    graph->edge[0].src = 0;
    graph->edge[0].dest = 1;
    graph->edge[0].weight = -1;

    graph->edge[1].src = 0;
    graph->edge[1].dest = 2;
    graph->edge[1].weight = 4;

    graph->edge[2].src = 1;
    graph->edge[2].dest = 2;
    graph->edge[2].weight = 3;

    graph->edge[3].src = 1;
    graph->edge[3].dest = 3;
    graph->edge[3].weight = 2;

    graph->edge[4].src = 1;
    graph->edge[4].dest = 4;
    graph->edge[4].weight = 2;

    graph->edge[5].src = 3;
    graph->edge[5].dest = 2;
    graph->edge[5].weight = 5;

    graph->edge[6].src = 3;
    graph->edge[6].dest = 1;
    graph->edge[6].weight = 1;

    graph->edge[7].src = 4;
    graph->edge[7].dest = 3;
    graph->edge[7].weight = -3;

    graph->edge[8].src = 5;
    graph->edge[8].dest = 6;
    graph->edge[8].weight = 2;

    bool result = BellmanFord(graph,0);
    if(result){
        cout<<"图中存在回路"<<endl;
    }//if
    else{
        cout<<"图中不存在回路"<<endl;
    }//else
    return 0;
}