更好的理解此算法的判负环:http://www.sohu.com/a/206351499_479559
[转自](https://blog.csdn.net/sms0101/article/details/73088422)
单源最短路径
给定一个图,和一个源顶点src,找到从src到其它所有所有顶点的最短路径,图中可能含有负权值的边。
Dijksra的算法是一个贪婪算法,时间复杂度是O(VLogV)(使用最小堆)。但是迪杰斯特拉算法在有负权值边的图中不适用,Bellman-Ford适合这样的图。在网络路由中,该算法会被用作距离向量路由算法。
Bellman-Ford也比迪杰斯特拉算法更简单和同时也适用于分布式系统。但Bellman-Ford的时间复杂度是O(VE),这要比迪杰斯特拉算法慢。(V为顶点的个数,E为边的个数)
算法描述
输入:图 和 源顶点src
输出:从src到所有顶点的最短距离。如果有负权回路(不是负权值的边),则不计算该最短距离,没有意义,因为可以穿越负权回路任意次,则最终为负无穷。
算法步骤
1.初始化:将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 dist[v] ← +∞, dist[s] ←0;
2.迭代求解:反复对边集E中的每条边进行松弛操作,使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离;(运行|v|-1次)
3.检验负权回路:判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点,则算法返回false,表明问题无解;否则算法返回true,并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 dist[v]中。
关于该算法的证明也比较简单,采用反证法,具体参考:http://courses.csail.mit.edu/6.006/spring11/lectures/lec15.pdf
该算法是利用动态规划的思想。该算法以自底向上的方式计算最短路径。
它首先计算最多一条边时的最短路径(对于所有顶点)。然后,计算最多两条边时的最短路径。外层循环需要执行|V|-1次。
例子
一下面的有向图为例:给定源顶点是0,初始化源顶点距离所有的顶点都是是无穷大的,除了源顶点本身。因为有5个顶点,因此所有的边需要处理4次。
按照以下的顺序处理所有的边:(B,E), (D,B), (B,D), (A,B), (A,C), (D,C), (B,C), (E,D).
第一次迭代得到如下的结果(第一行为初始化情况,最后一行为最终结果):
当 (B,E), (D,B), (B,D) 和 (A,B) 处理完后,得到的是第二行的结果。
当 (A,C) 处理完后,得到的是第三行的结果。
当 (D,C), (B,C) 和 (E,D) 处理完后,得到第四行的结果。
第一次迭代保证给所有最短路径最多只有1条边。当所有的边被第二次处理后,得到如下的结果(最后一行为最终结果):
第二次迭代保证给所有最短路径最多只有2条边。我们还需要2次迭代(即所谓的松弛操作),就可以得到最终结果。
代码
- /*-------------------------------------
- * 题目: Bellman-Ford算法(单源最短路径)
- * 博客:
- ------------------------------------*/
- #include <iostream>
- using namespace std;
- //表示一条边
- struct Edge{
- // 起点
- int src;
- // 终点
- int dest;
- // 权重
- int weight;
- };
- //带权值的有向图
- struct Graph{
- // 顶点的数量
- int V;
- // 边的数量
- int E;
- // 用边的集合 表示一个图
- Edge* edge;
- };
- // 创建图
- Graph* CreateGraph( int v, int e){
- Graph* graph = (Graph*) malloc( sizeof(Graph));
- graph->E = e;
- graph->V = v;
- graph->edge = (Edge*) malloc(e* sizeof(Edge));
- return graph;
- }
- // 打印结果
- void Print( int dist[], int n){
- cout<< "单源最短路径:"<< endl;
- for( int i = 0;i < n;++i){
- if(dist[i] == INT_MAX){
- cout<< "与节点"<<i<< "距离->无穷大"<< endl;
- } //if
- else{
- cout<< "与节点"<<i<< "距离->"<<dist[i]<< endl;
- }
- } //for
- }
- // 单源最短路径
- bool BellmanFord(Graph* graph, int src){
- int v = graph->V;
- int e = graph->E;
- // 存储距离
- int dist[v];
- // 初始化
- for( int i = 0;i < v;++i){
- dist[i] = INT_MAX;
- } //for
- dist[src] = 0;
- // v-1次操作
- Edge edge;
- int a,b,weight;
- for( int i = 1;i < v;++i){
- // 对e条边进行松弛
- for( int j = 0;j < e;++j){
- edge = graph->edge[j];
- a = edge.src;
- b = edge.dest;
- weight = edge.weight;
- if(dist[a] != INT_MAX && dist[a]+weight < dist[b]){
- dist[b] = dist[a]+weight;
- } //if
- } //for
- } //for
- // 检测负权回路
- bool isBack = false;
- for( int i = 0;i < e;++i){
- edge = graph->edge[i];
- a = edge.src;
- b = edge.dest;
- weight = edge.weight;
- if(dist[a] != INT_MAX && dist[a]+weight < dist[b]){
- isBack = true;
- break;
- } //if
- } //for
- // 打印结果
- Print(dist,v);
- return isBack;
- }
- int main(){
- int v = 7;
- int e = 9;
- Graph* graph = CreateGraph(v,e);
- graph->edge[ 0].src = 0;
- graph->edge[ 0].dest = 1;
- graph->edge[ 0].weight = - 1;
- graph->edge[ 1].src = 0;
- graph->edge[ 1].dest = 2;
- graph->edge[ 1].weight = 4;
- graph->edge[ 2].src = 1;
- graph->edge[ 2].dest = 2;
- graph->edge[ 2].weight = 3;
- graph->edge[ 3].src = 1;
- graph->edge[ 3].dest = 3;
- graph->edge[ 3].weight = 2;
- graph->edge[ 4].src = 1;
- graph->edge[ 4].dest = 4;
- graph->edge[ 4].weight = 2;
- graph->edge[ 5].src = 3;
- graph->edge[ 5].dest = 2;
- graph->edge[ 5].weight = 5;
- graph->edge[ 6].src = 3;
- graph->edge[ 6].dest = 1;
- graph->edge[ 6].weight = 1;
- graph->edge[ 7].src = 4;
- graph->edge[ 7].dest = 3;
- graph->edge[ 7].weight = - 3;
- graph->edge[ 8].src = 5;
- graph->edge[ 8].dest = 6;
- graph->edge[ 8].weight = 2;
- bool result = BellmanFord(graph, 0);
- if(result){
- cout<< "图中存在回路"<< endl;
- } //if
- else{
- cout<< "图中不存在回路"<< endl;
- } //else
- return 0;
- }
,