最短路——Bellman-Ford算法
Dijkstra算法是解决最短路问题最有效的算法了，但它限于权值非负的情况，若图中出现权值为负的边，Dijkstra算法就会失效，求出的最短路径就可能是错的。
Bellman-Ford算法可以对回路中是否有负权值进行判断，用于解决存在权值为负的最短路问题。
适用条件&范围：
单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);
有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);
边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);
差分约束系统;
算法流程：
①数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0；
②以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；
③为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。
Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
①初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
②进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
③遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)，则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
IMPORTANT!!!
之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。
考虑如下的图：
经过第一次遍历后，点B的值变为5，点C的值变为8，这时，注意权重为－10的边，这条边的存在，导致点A的值变为－2。（8＋ －10＝－2）
第二次遍历后，点B的值变为3，点C变为6，点A变为－4。正是因为有一条负边在回路中，导致每次遍历后，各个点的值不断变小。
在回过来看一下bellman－ford算法的第三部分，遍历所有边，检查是否存在d（v） > d (u) + w(u,v)。因为第二部分循环的次数是定长的，所以如果存在无法收敛的情况，则肯定能够在第三部分中检查出来。比如
此时，点A的值为－2，点B的值为5，边AB的权重为5，5 > -2 + 5. 检查出来这条边没有收敛。
所以，Bellman－Ford算法可以解决图中有权为负数的边的单源最短路径问。
代码实现
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define N 0x3f3f3f3f
int dis[110]; //dis数组存的是起点到每个点的长度
int n,m,s; //n个点，m条边，s是源点
typedef struct edge
{
int u,v;
int dis;
} edge; //u，v是边的两个点，dis是每条边的权值
edge e[110];
void init() //初始化
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
for(int i=1; i<=n; i++)
dis[i]=N;
dis[s]=0;
for(int i=1; i<=m; i++)
{
cin>>e[i].u>>e[i].v>>e[i].dis;
if(e[i].u==s) //设置初始情况
dis[e[i].v]==e[i].dis;
}
}
bool bellman_ford()
{
for(int i=1; i<=n-1; i++)
{
for(int j=1; j<=m; j++)
{
if(dis[e[j].v]>dis[e[j].u]+e[j].dis)
dis[e[j].v]=dis[e[j].u]+e[j].dis; //松弛计算
}
}
bool flag=1;
for(int i=1; i<=m; i++) //判断是否有负环路
{
if(dis[e[i].v]>dis[e[i].u]+e[i].dis)
{
flag=0;
break;
}
}
return flag;
}
int main()
{
init();
if(bellman_ford())
{
for(int i=1; i<=n; i++)
cout<<dis[i]<<endl;
}
return 0;
}
测试数据
5 10 1
1 2 6
1 5 7
2 3 5
3 2 -2
2 5 8
2 4 -4
4 3 7
5 3 -3
5 4 9
4 1 2
结果：
0
2
4
-2
7
补充:
考虑：为什么要循环n-1次？
答：因为最短路径肯定是个简单路径，不可能包含回路的，
如果包含回路，且回路的权值和为正的，那么去掉这个回路，可以得到更短的路径
如果回路的权值是负的，那么肯定没有解了
图有n个点，又不能有回路
所以最短路径最多n-1边
又因为每次循环，至少relax一边
所以最多n-1次就行了
