已知有向图G（V,E）和权重w（u,v），其中（u，v）∈E,s是源节点

节点v有属性d表示s到v的最短估计距离是d.

Bellman-Ford算法伪代码：

初始化函数

initialize(G,s)

for each vertex v∈G.v

v.d=∞

s.d=0

松弛操作，是最短估计距离不断趋近于最短真实距离：

relax(u,v,w)

if v.d>u.d+w(u,v)

v.d=u.d+w(u,v)

算法实现过程，执|V|-1轮松弛操作，每轮松弛|E|次，时间复杂度为O（｜Ｖ｜｜Ｅ｜）。

返回true表示没有负权环路，false表示存在负权环路：

bellman-ford(G,w,s)

for  i=1 to |G.V|-1

for each edge(u,v)∈G.E  

relax(u,v,w)

for each edge(u,v)∈G.E

if v.d>u.d+w(u,v)

return false

return true

算法正确性证明：

假设s到v的最短真实距离是v.r

有如下引理：

假入s->vk的最短路径为p=<v0,v1,v2,…vk>,并且我们队p中的边所进行的松弛顺序为（v0,v1)，（v1，v2），…，（Vk-1,Vk),则vk.d=v.r。该性质的成立与其他任何松弛操作无关，即使这些松弛操作是与对p上的边所进行的松弛操作穿插进行的。

有了以上引理，第i轮循环就可以看做是对(vi-1,vi)进行松弛。所以经过｜Ｖ｜－１轮后，对于所有v∈V,都有v.d=v.r

所以可以得到s到所有顶点的最短距离