Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法，但它局限于边的权值非负的情况，若图中出现权值为负的边，Dijkstra算法就会失效，求出的最短路径就可能是错的。

这时候，就需要使用其他的算法来求解最短路径，Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼（Richard Bellman, 动态规划的提出者）和小莱斯特•福特（Lester Ford）发明。

适用条件&范围：

单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

差分约束系统;

Bellman-Ford算法的伪代码如下：
  BELLMAN-FORD(G,w，s）

   Initialize-single-sourse（G，s）//初始化原点d[s]=0,其余所有顶点d[v]=无穷大，pi[v]=NIL

  for i=1 to | V[G] |-1

     for each edge (u,v)属于E[G]

             do RELAX(u,v,w)  //   O(V*E) 次松弛后，d[v] 为最短路径值

  for each edge (u,v)属于E[G]

    if  d[v]>d[u]+w(u,v)        //对所有边，若 d[v]>d[u]+w(u,v) ，则 d[v] 不是最短，存在可达的负权回路

         then return FALSE

 return TRUE

可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
 
之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。 

测试代码如下：（下面为有向图的Bellman-Ford算法。。。。。）

[cpp] 
view plain
copy

1. #include<iostream>  
2. #include<cstdio>  
3. using namespace std;  
4.   
5. #define MAX 0x3f3f3f3f  
6. #define N 1010  
7. int nodenum, edgenum, original; //点，边，起点  
8.   
9. typedef struct Edge //边  
10. {  
11.     int u, v;  
12.     int cost;  
13. }Edge;  
14.   
15. Edge edge[N];  
16. int dis[N], pre[N];  
17.   
18. bool Bellman_Ford()  
19. {  
20.     for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化  
21.         dis[i] = (i == original ? 0 : MAX);  
22.     for(int i = 1; i <= nodenum – 1; ++i)  
23.         for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)  
24.             if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛（顺序一定不能反~）  
25.             {  
26.                 dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;  
27.                 pre[edge[j].v] = edge[j].u;  
28.             }  
29.             bool flag = 1; //判断是否含有负权回路  
30.             for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)  
31.                 if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)  
32.                 {  
33.                     flag = 0;  
34.                     break;  
35.                 }  
36.                 return flag;  
37. }  
38.   
39. void print_path(int root) //打印最短路的路径（反向）  
40. {  
41.     while(root != pre[root]) //前驱  
42.     {  
43.         printf(“%d–>”, root);  
44.         root = pre[root];  
45.     }  
46.     if(root == pre[root])  
47.         printf(“%d\n”, root);  
48. }  
49.   
50. int main()  
51. {  
52.     scanf(“%d%d%d”, &nodenum, &edgenum, &original);  
53.     pre[original] = original;  
54.     for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)  
55.     {  
56.         scanf(“%d%d%d”, &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);  
57.     }  
58.     if(Bellman_Ford())  
59.         for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路  
60.         {  
61.             printf(“%d\n”, dis[i]);  
62.             printf(“Path:”);  
63.             print_path(i);  
64.         }  
65.     else  
66.         printf(“have negative circle\n”);  
67.     return 0;  
68. }