Bellman-Ford-解决负权边的最短路径

之前写了一个Floyd-Warshall解决多源最短路径问题的博客传送门

现在看到Bellman-Ford算法好像也有异曲同工之妙,重点是核心算法都很短^_^。

当初Floyd-Warshall算法为了解决一个点到另一个点的最短路,必须将其中间可作为中转点的最短路径算出来,这样使时间复杂度为n^3。优点是打了个表可以查询任意两点的最短路径。但是其不可以解决带有负权边的问题,否则会导致出错。而Bellman-Ford算法解决负权边的问题并且可以检测是否带有负权回路(回路的权值相加为负值)具体操作下面会提到。

首先Bellman-Ford算法不需要将图完全的记录下来。而是将其边的信息保存,之后使用一个dis数组保存1号节点(默认求1号节点到其他点的最短路径)到其他节点的最短距离。

《Bellman-Ford-解决负权边的最短路径》

现在假设我们求1号节点到4号节点的最短路径。在Bellman-Ford算法中主要考虑的是边的关系,比如我们找出一条通路它包含了几条边,将边的权值加起来最小(不一定是边最少的通路)。所以这里我们要求的是dis[4]。并且我们用一个结构体que[]数组保存边的信息。

struct node{
    int a,b,w;//a->b权值为w
}que[10010];

算法描述如下

for (i=1;i<=m-1;i++)
    for (j=1;j<=n;j++)
        if (dis[que[j].b]>dis[que[j].a]+que[j].w)
            dis[que[j].b]=dis[que[j].a]+que[j].w;

这里循环的意义是:遍历每一条边,试探是否可以通过这个点的路径是否可以被缩短。其实挺难理解的,和Floyd-Warshall算法不同之处在于它主要选择中转点,而这个算法主要选择中转边

第一次循环的结果:

《Bellman-Ford-解决负权边的最短路径》

第二次循环结果:

《Bellman-Ford-解决负权边的最短路径》

其实,第一轮对所有边松弛之后,得到的是从1号顶点“只能经过一条边”到达其余各顶点的最短路径长度。第二轮在对所有的边进行松弛之后,得到的是从1号点“最多经过两条边”到达其余各顶点的最短路径长度。

那么最多需要几次松弛呢?答案是最多m-1次(m代表节点数),因为最差的情况就是需要经过所有的节点中转也才m-1条边,相当于一个最小生成树。

//从起点开始逐步向周围松弛
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
struct node{
	int a,b,w;
}que[10010];
int dis[10010];
int check(int m,int n)//负权回路检测函数 如果在m-1次松弛之后,还能松弛成功的话,那么就存在一个负权回路(并且负权回路的图不存在最短路径) 
{
	int i,flag=0;
	for (i=1;i<=n;i++){
		if (dis[que[i].b]>dis[que[i].a]+que[i].w)
			flag=1;
	}
	return flag;
}
void Bellman_Ford (int m,int n)
{
	int i,j;
	memset(dis,inf,sizeof dis);
	dis[1]=0;
	for (i=1;i<=m-1;i++){
		int flag=0;//flag作用是:如果有一轮松弛没有一次成功,说明dis数组已经达到最优 
		for (j=1;j<=n;j++){
			if (dis[que[j].b]>dis[que[j].a]+que[j].w){
				dis[que[j].b]=dis[que[j].a]+que[j].w;
				flag=1;
			}		
		}
		/*for (j=1;j<=m;j++){
			printf ("%d ",dis[j]);
		} 
		printf ("\n");*///查看每次松弛的结果 
		if (!flag)
			break;
	}
}
int main ()
{
	int m,n;
	while (~scanf ("%d%d",&m,&n)){
		memset(que,0,sizeof que);
		int i,j;
		for (i=1;i<=n;i++){
			scanf ("%d%d%d",&que[i].a,&que[i].b,&que[i].w);
		}
		Bellman_Ford (m,n);
		if (!check(m,n))
			for (i=1;i<=m;i++)
				printf ("%d%c",dis[i],i==m?'\n':' ');
		else
			printf ("该图存在一个负权回路!\n");
	}
	return 0;
}

    原文作者:Bellman - ford算法
    原文地址: https://blog.csdn.net/x__1998/article/details/79536008
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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