本文参考来自数据结构与算法分析 java语言描述。
问题描述
现有一个有向赋权图。如下图所示：
问题：根据每条边的权值，求出从起点s到其他每个顶点的最短路径和最短路径的长度。
说明：不考虑权值为负的情况，否则会出现负值圈问题。
s：起点
v：算法当前分析处理的顶点
w：与v邻接的顶点
dv d v ：从s到v的距离
dw d w ：从s到w的距离
cv,w c v , w ：顶点v到顶点w的边的权值
问题分析
Dijkstra算法按阶段进行，同无权最短路径算法（先对距离为0的顶点处理，再对距离为1的顶点处理，以此类推）一样，都是先找距离最小的。
在每个阶段，Dijkstra算法选择一个顶点v，它在所有unknown顶点中具有最小的 dv d v ，同时算法声明从s到v的最短路径是known的。阶段的其余部分为，对w的 dv d v （距离）和 pv p v （上一个顶点）更新工作（当然也可能不更新）。
在算法的每个阶段，都是这样处理的：
【0.5】在无权的情况下，若 dw d w = ∞ ∞ 则置 dw=dv+1 d w = d v + 1 （无权最短路径）
【1】在有权的情况下，若 dw d w = ∞ ∞ 则置 dw=dv+cv,w d w = d v + c v , w
【2】若 dw d w ！= ∞ ∞ ，开始分析：从顶点v到顶点w的路径，若能使得w的路径长比w原来的路径长短一点，那么就需要对w进行更新，否则不对w更新。即满足 dv+cv,w<dw d v + c v , w < d w 时，就需要把 dw d w 的值更新为 dv+cv,w d v + c v , w ，同时顶点w的 pv p v 值得改成顶点v
实现过程
考虑Dijkstra算法过程中，有一个数据变化表。
初始状态如上。开始顶点s是 v1 v 1 ，所有顶点都是unknown的。 v1 v 1 的 dv d v 的值为0，因为它是起点。
【1】选择unknown顶点中， dv d v 值最小的顶点，即顶点 v1 v 1 。首先将 v1 v 1 标记为known。对与 v1 v 1 邻接的顶点 v2v4 v 2 v 4 进行调整： v2 v 2 的距离变为 dv+cv,w d v + c v , w 即 v1 v 1 的 dv d v 值+ c1,2 c 1 , 2 即0+2=2， v2 v 2 的 pv p v 值变为 v1 v 1 ；同理，对 v4 v 4 作相应的处理。
【2】选择unknown顶点中， dv d v 值最小的顶点，即顶点 v4 v 4 （其距离为1，最小）。将 v4 v 4 标记为known。对其邻接的顶点 v3v5v6v7 v 3 v 5 v 6 v 7 作相应的处理。
【3】选择unknown顶点中， dv d v 值最小的顶点，即顶点 v2 v 2 （其距离为2，最小）。将 v2 v 2 标记为known。对其邻接的顶点 v4v5 v 4 v 5 作相应的处理。但 v4 v 4 是已知的，所以不需要调整；因为经过 v2 v 2 到 v5 v 5 的距离为2+10=12，而s到 v5 v 5 路径为3是已知的（上表中， v5 v 5 的 dv d v 为3），12>3，所以也不需要也没有必要调整。
【4】选择unknown顶点中， dv d v 值最小的顶点，即顶点 v5 v 5 （距离为3，最小，其实还有 v3 v 3 也是距离为3，但博主发现这里，先 v5 v 5 再 v3 v 3 和先 v3 v 3 再 v5 v 5 的运行结果都是一样的）。将 v2 v 2 标记为known。对其邻接的顶点 v7 v 7 作相应的处理。但原路径长更小，所以不用调整。
【5】再对 v3 v 3 处理。对 v6 v 6 的距离下调到3+5=8
【6】再对 v7 v 7 处理。对 v6 v 6 的距离下调到5+1=6
【7】最后，再对 v6 v 6 处理。不需调整。
上述实现过程对应的算法，可能需要用到优先队列，每次出队 dv d v 值最小的顶点，因为如果只是遍历来找到 dv d v 值最小的顶点，可能会花费很多时间。
如何使用数据变化表
数据变化表的最终情况如下：
现在我们能找到起点 v1 v 1 到任意的 vi v i （除了起点）的最短路径，及其最短路径长。
比如，找到 v1 v 1 到 v3 v 3 的最短路径。
【1】 v3 v 3 的 dv d v 值为3，所以最短路径长为3
【2】 v3 v 3 的 pv p v 值为 v4 v 4 ，所以 v3 v 3 的上一个顶点为 v4 v 4
【3】到代表 v4 v 4 的第四行，发现 v4 v 4 的 pv p v 值为 v1 v 1 ，所以 v4 v 4 的上一个顶点为 v1 v 1
【4】 v1 v 1 是起点，结束。 v3 v 3 上一个是 v4 v 4 ， v4 v 4 上一个是 v1 v 1 ，反过来就得到了最短路径 v1=>v4=>v3 v 1 => v 4 => v 3
上述分析，其实就是求最短路径的算法的思想：在对每个顶点对象进行处理后变成数据变化表的最终情况后，可以通过对任意顶点 vi v i 的 pv p v 值，回溯得到反转的最短路径。
代码实现
纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行！使用python3来实现功能。
本文提到，将使用优先队列来实现寻找未知顶点中，具有最小dist的顶点。使用python已有实现好的优先队列。但实验中报错如下：
意思，Vertex实例并不支持小于比较运算符。所以需要实现Vertex类的__lt__方法。下面科普一下：
| 方法名 | 比较运算符 | 含义 |
|---|---|---|
__eq__ | == | equal |
__lt__ | < | less than |
__le__ | <= | less and equal |
__gt__ | > | greater than |
__ge__ | >= | greater and equal |
但很遗憾，python库自带的优先队列from queue import PriorityQueue，并不满足本文的需求。当PriorityQueue的元素为对象时，需要该对象的class实现__lt__函数，在往优先队列里添加元素时，内部是用的堆排序，堆排序的特点为每个堆（以及每个子堆）的第一个元素总是那个最小的元素。关键在于，在建立了这个堆后，堆就已经记录下来了创建堆时各个元素的大小关系了，在创建优先队列后，再改变某个对象的值，这个堆的结构是肯定不会变的，所以这种堆排序造成了排序是一次性的，如果之后某个对象的属性发生变化，堆的结构也不会随之而改变。
或者说，我们想要的优先队列肯定不是系统提供的优先队列，因为我们要支持可变对象的成员修改导致堆的改变，解决方案有三种，1.内部使用的堆排序的堆，最起码要支持，删除任意节点和增加节点操作（因为这两步就可以达到修改的效果了）2.这个内部堆，在执行出队操作时，考察哪个节点有修改操作，再把堆改变到正确的形态，再出队3.维护一个list，进行排降序，然后每改变一个可变对象的值，就对这个对象进行冒泡或者二分查找找到位置（因为别的都是已经排好序的了，只有它不在正确的位置），最后再list.pop()，但第三个方案是我后来想到的，所以下面代码并不是这样实现的，读者可以进行尝试，肯定比每次遍历全部快。
应该说，可能用不上队列了。我们可能只需要一个list或者set来存储v，在出队前随便vi改变其dist，在出队时再遍历找到最小的dist的vi，再删除掉这个vi即可。因为vi的dist一直在变，需求特殊，但是没必要专门造个轮子（感觉这个轮子也不好造），虽然时间复杂度可能高了点，但代码简单了啊。
优先队列中的堆排序
失效代码如下：三个节点对象的dist都是无穷大，在三个对象都进入队列，再把v3的dist改成0，想要的效果是出队出v3，但出队出的是v1。原因如上：
from queue import PriorityQueue
class Vertex:
#顶点类
def __init__(self,vid,dist):
self.vid = vid
self.dist = dist
def __lt__(self,other):
return self.dist < other.dist
v1=Vertex(1,float('inf'))
v2=Vertex(2,float('inf'))
v3=Vertex(3,float('inf'))
vlist = [v1,v2,v3]
q = PriorityQueue()
for i in range(0,len(vlist)):
q.put(vlist[i])
v3.dist = 0
print('vid:',q.get().vid)#结果为vid: 1而如果将在入队前，就把dist改变了，就能正确的出队。
v3.dist = 0
for i in range(0,len(vlist)):
q.put(vlist[i])
#结果为vid: 3 使用set代替优先队列
class Vertex:
#顶点类
def __init__(self,vid,outList):
self.vid = vid#出边
self.outList = outList#出边指向的顶点id的列表，也可以理解为邻接表
self.know = False#默认为假
self.dist = float('inf')#s到该点的距离,默认为无穷大
self.prev = 0#上一个顶点的id，默认为0
def __eq__(self, other):
if isinstance(other, self.__class__):
return self.vid == other.vid
else:
return False
def __hash__(self):
return hash(self.vid)
#创建顶点对象
v1=Vertex(1,[2,4])
v2=Vertex(2,[4,5])
v3=Vertex(3,[1,6])
v4=Vertex(4,[3,5,6,7])
v5=Vertex(5,[7])
v6=Vertex(6,[])
v7=Vertex(7,[6])
#存储边的权值
edges = dict()
def add_edge(front,back,value):
edges[(front,back)]=value
add_edge(1,2,2)
add_edge(1,4,1)
add_edge(3,1,4)
add_edge(4,3,2)
add_edge(2,4,3)
add_edge(2,5,10)
add_edge(4,5,2)
add_edge(3,6,5)
add_edge(4,6,8)
add_edge(4,7,4)
add_edge(7,6,1)
add_edge(5,7,6)
#创建一个长度为8的数组，来存储顶点，0索引元素不存
vlist = [False,v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7]
#使用set代替优先队列，选择set主要是因为set有方便的remove方法
vset = set([v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7])
def get_unknown_min():#此函数则代替优先队列的出队操作
the_min = 0
the_index = 0
j = 0
for i in range(1,len(vlist)):
if(vlist[i].know is True):
continue
else:
if(j==0):
the_min = vlist[i].dist
the_index = i
else:
if(vlist[i].dist < the_min):
the_min = vlist[i].dist
the_index = i
j += 1
#此时已经找到了未知的最小的元素是谁
vset.remove(vlist[the_index])#相当于执行出队操作
return vlist[the_index]
def main():
#将v1设为顶点
v1.dist = 0
while(len(vset)!=0):
v = get_unknown_min()
print(v.vid,v.dist,v.outList)
v.know = True
for w in v.outList:#w为索引
if(vlist[w].know is True):
continue
if(vlist[w].dist == float('inf')):
vlist[w].dist = v.dist + edges[(v.vid,w)]
vlist[w].prev = v.vid
else:
if((v.dist + edges[(v.vid,w)])<vlist[w].dist):
vlist[w].dist = v.dist + edges[(v.vid,w)]
vlist[w].prev = v.vid
else:#原路径长更小，没有必要更新
pass
main()
print('v1.prev:',v1.prev,'v1.dist',v1.dist)
print('v2.prev:',v2.prev,'v2.dist',v2.dist)
print('v3.prev:',v3.prev,'v3.dist',v3.dist)
print('v4.prev:',v4.prev,'v4.dist',v4.dist)
print('v5.prev:',v5.prev,'v5.dist',v5.dist)
print('v6.prev:',v6.prev,'v6.dist',v6.dist)
print('v7.prev:',v7.prev,'v7.dist',v7.dist)
运行结果与数据变化表的最终情况一致。
得到最短路径
把以下代码和以上代码合起来就可以运行成功，使用递归的思想来做：
def real_get_traj(start,index):
traj_list = []
def get_traj(index):#参数是顶点在vlist中的索引
if(index == start):#终点
traj_list.append(index)
print(traj_list[::-1])#反转list
return
if(vlist[index].dist == float('inf')):
print('从起点到该顶点根本没有路径')
return
traj_list.append(index)
get_traj(vlist[index].prev)
get_traj(index)
print('该最短路径的长度为',vlist[index].dist)
real_get_traj(1,3)
real_get_traj(1,6)
如图所示，从v1到v3的最短路径为：[1, 4, 3]
从v1到v6的最短路径为：[1, 4, 7, 6]
负权边
Dijkstra算法要求边上的权值不能为负数，不然就会出错。如上，本来最短路径是012，但由于算法是贪心的，所以只会直接选择到2
算法改进（若为无圈图）
注意，只有有向无圈图才有拓扑排序。
如果知道图是无圈图，那么我们可以通过改变声明顶点为known的顺序（原本这个顺序是，每次从unknown里面找出个最小dist的顶点），或者叫做顶点选取法则，来改进Dijkstra算法。新法则以拓扑排序选择顶点。由于选择和更新（每次选择和更新完成后，就会变成数据变化表中的某一种情况）可以在拓扑排序执行的时候进行，因此算法能一趟完成。
因为当一个顶点v被选取以后，按照拓扑排序的法则它肯定没有任何unknown顶点到v（指明方向）的入边，因为v的距离 dv d v 不可能再下降了（因为根本没有别的路到v了），所以这种选择方法是可行的。
使用这种方法不需要优先队列。
