Dijkstra’s Algorithm
简介
Dijkstra算法可以用于在有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph）中确定从单一源点（single source）出发到其他所有顶点的最短路径。有以下几点需要明确：
- “最短路径”是指沿途相邻两顶点间的权值总和最小的路径。
- 这个“权值总和”也叫距离，用数组d[]表示。对于单一源点s与某一个目的点u，若从s不可达u，则d[u]=正无穷大；若从s可达u，则可能存在多个可达路径，也就是有多个d[u]值，其中最短路径的距离用delta(s, u)表示，则显然有d[u]>=delta(s, u)。
- 所有权值都必须是非负的。
松弛操作（Relaxation）
在做松弛操作之前，先要对图进行初始化，如下：
参数G为图，s为单一源点。初始化后，d[s]=0；顶点集中除s外的任意顶点v，有d[v]=正无穷大；顶点集中所有顶点的前驱被置空。
接下来是松弛操作：
已知一条有向边u–>v，其权重为w；又已知d[u]与d[v]。那么，通过这条有向边从u到达v，能否使d[v]的值变得更小？显然，这就需要比较d[v]与d[u]+w谁更小：若d[u]+w更小，则我们找到了“更短的路径”，将d[u]+w的值赋给d[v]，并修改v的前驱顶点为u；否则，不作任何改变。总之，松弛操作是一个尝试刷下限的过程。下图是一个松弛操作的例子：
表明了松弛操作可能遇到的两种情况：图(a)，目前的下限，即d[v]，是9，若通过u–>v，可使这个下限被刷到7，小于9，是个好主意，采纳，修改d[v]为7并修改顶点v的前驱为u；图(b)，目前的下限是6，若通过u–>v，这个下限居然会变成7，大于6，所以我们拒绝，于是什么都不做。
Dijkstra算法
进一步描述Dijkstra算法：
- 执行初始化操作Init(G, s)。
- 建立两个顶点集合S、Q；S设置为空集，Q设置为包含图G中的所有顶点（当然，这些顶点都经过了初始化：d[s]=0、d[除s之外]=正无穷大、所有顶点的前驱都置空）。
- 维护顶点集合S、Q。如何维护呢？第一步，从Q中取出d[]值最小的顶点u，放入S；第二步，对所有u可以直接到达的顶点v，执行有向边u–>v的松弛操作。以上两步每执行一次，Q就少一个顶点，S就多一个顶点，直到Q为空，算法结束。
An example: Dijkstra’s Algo walk-through
下面是一个例子，通过对Dijkstra算法执行过程的逐步模拟，可以加深对算法的直观认识。
如图，源点是0，求源点到各顶点的最短路径。
