单源多目标最短路径之Dijkstra算法

2019年3月17日 467次阅读 来源: Dijkstra算法

Dijkstra算法（单源最短路径）

      单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。

一.最短路径的最优子结构性质

   该性质描述为：如果P(i,j)={Vi….Vk..Vs…Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。

   假设P(i,j)={Vi….Vk..Vs…Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s)，那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。

二.Dijkstra算法

   由上述性质可知，如果存在一条从i到j的最短路径(Vi…..Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi…Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径，Dijkstra就提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0，首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi，那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}。根据这种思路，

假设存在G=<V,E>，源顶点为V0，U={V0},dist[i]记录V0到i的最短距离，path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。

1.从V-U中选择使dist[i]值最小的顶点i，将i加入到U中；

2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]})

3.直到U=V，停止。

测试用例：

《单源多目标最短路径之Dijkstra算法》

代码：

#include <stdio.h>
#include <limits.h>
//using namespace std;

#define MAX_VERTICES 6
int cost[][MAX_VERTICES] = 
	{{0,50,10,1000,45,1000},
	{1000,0,15,1000,10,1000},
	{20,1000,0,15,1000,1000},
	{1000,20,1000,0,35,1000},
	{1000,1000,30,1000,0,1000},
	{1000,1000,1000,3,1000,0}};
int distance[MAX_VERTICES];
short int found[MAX_VERTICES];
int path[MAX_VERTICES];

int n = MAX_VERTICES;

int choose(int distance[],int n,short int found[])
{
	int i,min,minpos;
	min = INT_MAX;
	minpos = -1;
	for(i = 0; i < n; i++)
	{
		if(distance[i] < min && !found[i])
		{
			min = distance[i];
			minpos = i;
		}
	}
	return minpos;
}

void Dijkstra(int v,int cost[][MAX_VERTICES],
int distance[],int n,short int found[],int path[])
{
	int i,u,w;
	for(i = 0; i < n; i++)
	{
		found[i] = false;
		distance[i] = cost[v][i];
		path[i] = v;
	}
	
	found[v] = true;
	distance[v] = 0;
	for(i = 0; i < n - 2; i++)
	{
		u = choose(distance,n,found);
		found[u] = true;
		for(w = 0; w < n; w++)
		{
			if(!found[w])
				if(distance[u] + cost[u][w] < distance[w])
				{
					distance[w] = distance[u] + cost[u][w]; 
					path[w] = u;
				}
		}
	}
}

int main()
{
	int v = 0;
	Dijkstra(v,cost,distance,n,found,path);
	for(int i=0;i<n;i++)
		printf("%-3d",distance[i]);
	printf("\n");
	for(int i=0;i<n;i++)
		printf("%-3d",path[i]);
	/*create path output*/
	printf("\n");
	for(int i=0;i<MAX_VERTICES;i++)
	{ 
		if (distance[i] < 1000)
		{
			printf("%d<-",i);
			int j = i;
			while(path[j] != v)
			{
				printf("%d<-",path[j]);
				j = path[j];
			}
			printf("%d\n",v); 
		}
		else
			printf("Vertex : %d can not be accessed by :% d \n",i,v); 
			
	} 
}

测试结果：

0  45 10 25 45 1000
0  3  0  2  0  0  
0<-0
1<-3<-2<-0
2<-0
3<-2<-0
4<-0
Vertex : 5 is not attached to : 0 

REF：

1，数据结构（C语言版） Ellis Horowitz

2，http://www.cnblogs.com/dolphin0520/archive/2011/08/26/2155202.html

    原文作者：Dijkstra算法
    原文地址: https://blog.csdn.net/flyapy/article/details/35794245
    本文转自网络文章，转载此文章仅为分享知识，如有侵权，请联系博主进行删除。
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