最短路径问题:Dijkstra算法原理和证明

一、问题

最短路径问题:从一个有向图(或无向图)的某个顶点s出发,求到达其他任意一个顶点所经过的边的权重之和最小的路径。权重之和称为两个顶点之间的距离(距离均为正数)。
我们以无向图为例(顶点之间没有方向),每条边的权重可以使用权重矩阵W来描述,如有n个顶点,则权重矩阵大小为 n*n,W(i,j)为顶点i和j的直接相连的边的权重,如果没有直接相连,则赋值为无穷大。权重矩阵为对称矩阵。

二、算法

1、算法介绍
     Dijkstra算法与深度优先搜索类似,使用了贪心的思想,从一个顶点出发,每次查询所关联到的顶点的最短路径。
2、算法步骤
(1)定义变量:
定义一个数组dist,dist[m]表示顶点s到顶点m的最短距离。(在迭代过程中,里面的值可能不是最终最短距离,但是是当前考虑到已经扫描到的边的最短距离)
定义一个集合T,里面存放着已经查询到最终最短路径的顶点集合。
(2)初始化:
任取顶点 i,如果 s 和 i 直接相连,则dist[i]=W(s,i),否则 W(s, i) 为无穷大。
T 集合只包含顶点 s。
(3)迭代:
A、从dist中找到最小值(除去集合 T 中包含的点),记为 dist[r]=d,然后将顶点 r 划入到集合 T 中。
B、对于每一个不属于集合 T 的点,比如顶点 q, 查看新加入的顶点 r 是否可以直接到达顶点 q,如果是,则比较通过顶点 r 到达顶点 q 的路径长度和当前的dist[q]值,然后取较小值,即 dist[q] := min(dist[r]+W(r, q), dist[q])
C、跳回到步骤A,直到所有的点都进入到了集合 T。
D、dist 中存放的值即为每个点的最终最短路径。

三、演示

《最短路径问题:Dijkstra算法原理和证明》

有4个点,A 为起点,要求从 A 分别到 B、C、D的最短路径。
1、初始化变量:
dist = [9, 4, ∞],分别表示从源点到 B、C、D点的最短路径。
T = {A}
2、迭代:
(1)从dist不属于T的值中{9,4,∞}选一个最小值为4,对应点C,因此 T = {A,C}。
所有不属于集合T的点包括B、D。新加入的 C 可以直接到达 B,则 dist[B] := min(4+3,9)=7 ;新加入的 C 可以直接到达 D,则 dist[D] := min(4+1,∞)=5。因此 dist=[7,4,5]
(2)从dist不属于T的值中{9,5}选一个最小值为5,对应点D,因此 T = {A,C,D}
所有不属于集合T的点包括B。新加入的 D 可以直接到达 B,则 dist[B] := min(5+1,7)=6。因此 dist=[6,4,5]
(3)不属于T的只剩下B了, 直接加入到T即可。
(4)根据dist的值,从A点到B、C、D点的最短路径分别为:6、4、5

四、证明

推论1、如果只考虑集合 T 中包含的点,那么步骤A中 d 就是顶点 s 到 顶点 r 的最短距离(只考虑集合 T 的范围内的路径)。
证明:递归法证明:
(1)在第一次迭代中,dist初始化为直接与 s 相连的边的权重,明显最小权重的边连接的那个点为 s 到此点的最短距离。
(2)假如已经迭代完第 i 次,T 中包含了 i 个顶点(除了顶点s),dist 中包含了 i 个最终最短距离(还有其他不是无穷大的数值,但是不一定是最终最短距离),那么第 i+1 次的步骤A需要从 dist 中挑出除去这 i 个最短距离外的最小值,比如 dist[r]=d。因为前 i 次每次迭代中步骤B如果扫描到了与点 r 直接相连的点,都会比较一下经过此点到 r 的路径总长与当前已经存放的dist[r]的大小,即:
《最短路径问题:Dijkstra算法原理和证明》
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其中公式右边min内的 dist[r] 为 s 到 r 的直接距离,dist[u] 为集合 T 内 s 到 u 的最终最短距离。此公式恰好是在集合 T 的范围内计算从 s 到 r 的最短距离的方法,因此得证。


推论2、如果 r 点属于集合 T,且存在一个点 t,s.t. 从 s 到 t 的某条路径总长e < dist[r],则 t 点一定也属于集合 T。
证明:不是一般性,我们把从 s 点分别到 t 点和 m 点的路径画出来:
《最短路径问题:Dijkstra算法原理和证明》

且 s →…→ a → b1 →…→ bn → t 的总长为 e, s →…→ a → c1 →…→ cm → r 的总长为 dist[r]。
我们定义 distance(bi) 为 s →…→ a → b1 →…→ bi 的路径总长,distance(cj) 为 s →…→ a → c1 →…→ cj 的路径总长。
(1)当 e 为 s 到 t 的最短距离时:当集合 T 包含 t 时,一定也包含了 s…a、b1~bn。
因为 r 属于 T,则一定存在某次迭代,s.t.  s 和 a 均包含于集合 T。继续迭代,每次可能会从 b 系列中选取点归入集合 T,可能会从 c 系列中选取点归入集合 T,也可能是其他点。由于 distance(t) = e < dist[r] = distance(r),则一定存在点 ci,1≤i≤m,s.t. distance(ci) ≤ distance(t) 且 distance(c(i+1)) > distance(t)。(记 c(m+1)为r)。因此集合 T 中加入点的次序为 {ci, t} 早于 {c(i+1), r}。因此如果 r 属于集合 T,则 t 一定也属于集合 T,且比 r 先划入到集合 T。
(2)当 s 到 t 的最短距离 < e 时:s 到 t 的最短距离为 g,则 g < e,因此有 g < dist[r]。将 a、b1~bn 变为最短路径上的点,则变为了第(1)种情况。


推论3、步骤A中 d 就是顶点 s 到 顶点 r 的最终最短距离:
证明:假设 d 不是 s 到 r 的最终最短距离,根据推论1可知,s 到 r 的真正最终最短路径一定包含了集合 T 之外的点(记为 t),即 s →…→ t → …→ r 的总长 < d。因为权重总是为正数,因此 s → …→ t 的总长 < d,根据推论2可知, t 一定属于 T ,这与 t 不属于集合 T 矛盾。因此 d 是 s 到 r 的最终最短距离。


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    原文作者:Dijkstra算法
    原文地址: https://blog.csdn.net/HappyRocking/article/details/79250099
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