动态规划
动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中,可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值,我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题,则分解得到的子问题数目太多,有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,这样就可以避免大量的重复计算,节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到,只要它被计算过,就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样,但它们具有相同的填表格式。
动态规划一般可分为线性动规,区域动规,树形动规,背包动规四类。 举例: 线性动规:拦截导弹,合唱队形,挖地雷,建学校,剑客决斗等; 区域动规:石子合并, 加分二叉树,统计单词个数,炮兵布阵等; 树形动规:贪吃的九头龙,二分查找树,聚会的欢乐,数字三角形等; 背包问题:01背包问题,完全背包问题,分组背包问题,二维背包,装箱问题,挤牛奶(
同济ACM第1132题)等
适用条件
任何思想方法都有一定的局限性,超出了特定条件,它就失去了作用。同样,动态规划也并不是万能的。适用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性。 1.
最优化原理(最优子结构性质) 最优化原理可这样阐述:一个最优化策略具有这样的性质,不论过去状态和决策如何,对前面的决策所形成的状态而言,余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之,一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。 2.
无后效性将各阶段按照一定的次序排列好之后,对于某个给定的阶段状态,它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策,而只能通过当前的这个状态。换句话说,每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性,又称为无后效性。 3.子问题的重叠性 动态规划将原来具有指数级时间复杂度的
搜索算法改进成了具有多项式时间复杂度的算法。其中的关键在于解决冗余,这是动态规划算法的根本目的。动态规划实质上是一种以空间换时间的技术,它在实现的过程中,不得不存储产生过程中的各种状态,所以它的空间复杂度要大于其它的算法。
记忆化搜索 记忆化搜索=搜索的形式+动态规划的思想
记忆化搜索:算法上依然是搜索的流程,但是搜索到的一些解用
动态规划的那种思想和模式作一些保存。 一般说来,动态规划总要遍历所有的状态,而搜索可以排除一些无效状态。 更重要的是搜索还可以剪枝,可能剪去大量不必要的状态,因此在空间开销上往往比动态规划要低很多。 记忆化算法在求解的时候还是按着自顶向下的顺序,但是每求解一个状态,就将它的解保存下来, 以后再次遇到这个状态的时候,就不必重新求解了。 这种方法综合了搜索和动态规划两方面的优点,因而还是很有实用价值的
Dijkstra算法
迪杰斯特拉算法是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法,解决的是有向图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。
原理
1.首先,引入一个辅助向量D,它的每个分量 D
表示当前所找到的
Dijkstra算法运行动画过程 从起始点
(即源点
)到其它每个顶点
的长度。 例如,D[3] = 2表示从起始点到顶点3的路径相对最小长度为2。这里强调相对就是说在算法执行过程中D的值是在不断逼近最终结果但在过程中不一定就等于长度。
[1]
2.D的初始状态为:若从
到
有弧(即从
到
存在连接边),则D
为弧上的权值(即为从
到
的边的权值);否则置D
为∞。 显然,长度为 D
= Min{ D |
∈V } 的路径就是从
出发到顶点
的长度最短的一条路径,此路径为(
)。 3.那么,下一条长度次短的是哪一条呢?也就是找到从源点
到下一个顶点的最短路径长度所对应的顶点,且这条最短路径长度仅次于从源点
到顶点
的最短路径长度。 假设该次短路径的终点是
,则可想而知,这条路径要么是(
),或者是(
)。它的长度或者是从
到
的弧上的权值,或者是D
加上从
到
的弧上的权值。 4.一般情况下,假设S为已求得的从源点
出发的最短路径长度的顶点的集合,则可证明:下一条次最短路径(设其终点为
)要么是弧(
),或者是从源点
出发的中间只经过S中的顶点而最后到达顶点
的路径。 因此,下一条长度次短的的最短路径长度必是D
= Min{ D
|
∈V-S },其中D
要么是弧(
)上的权值,或者是D
(
∈S)和弧(
,
)上的权值之和。 算法描述如下: 1)令arcs表示弧上的权值。若弧不存在,则置arcs为∞(在本程序中为MAXCOST)。S为已找到的从
出发的的终点的集合,初始状态为空集。那么,从
出发到图上其余各顶点
可能达到的长度的初值为D=arcs[Locate Vex(G,
)],
∈V; 2)选择
,使得D
=Min{ D |
∈V-S } ; 3)修改从
出发的到集合V-S中任一顶点
的最短路径长度。
[1]
问题描述
在
无向图 G=(V,E) 中,假设每条边 E[i] 的长度为 w[i],找到由顶点 V0 到其余各点的最短值。
[2]
算法思想
按路径长度
递增次序产生算法: 把顶点集合V分成两组: (1)S:已求出的顶点的集合(初始时只含有源点V0) (2)V-S=T:尚未确定的顶点集合 将T中顶点按递增的次序加入到S中,保证: (1)从源点V0到S中其他各顶点的长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度 (2)每个顶点对应一个距离值 S中顶点:从V0到此顶点的长度 T中顶点:从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度 依据:可以证明V0到T中顶点Vk的,或是从V0到Vk的直接路径的权值;或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和 (
反证法可证) 求最短路径步骤 算法步骤如下: G={V,E} 1. 初始时令 S={V0},T=V-S={其余顶点},T中顶点对应的距离值 若存在<V0,Vi>,d(V0,Vi)为<V0,Vi>弧上的权值 若不存在<V0,Vi>,d(V0,Vi)为∞ 2. 从T中选取一个与S中顶点有关联边且权值最小的顶点W,加入到S中 3. 对其余T中顶点的距离值进行修改:若加进W作中间顶点,从V0到Vi的距离值缩短,则修改此距离值 重复上述步骤2、3,直到S中包含所有顶点,即W=Vi为止
算法实现
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 | #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #define max 11000000000 inta[1000][1000]; intd[1000]; //d表示某特定边距离 intp[1000]; //p表示永久边距离 inti,j,k; intm; //m代表边数 intn; //n代表点数 intmain() { scanf ( "%d%d" ,&n,&m); intmin1; intx,y,z; for (i=1;i<=m;i++) { scanf ( "%d%d%d" ,&x,&y,&z); a[x][y]=z; a[y][x]=z; } for (i=1;i<=n;i++) d[i]=max1; d[1]=0; for (i=1;i<=n;i++) { min1=max1; for (j=1;j<=n;j++) if (!p[j]&&d[j]<min1) { min1=d[j]; k=j; } p[k]=j; for (j=1;j<=n;j++) if (a[k][j]!=0&&!p[j]&&d[j]>d[k]+a[k][j]) d[j]=d[k]+a[k][j]; } for (i=1;i<n;i++) printf ( "%d->" ,p[i]); printf ( "%d\n" ,p[n]); return0; } |
大学经典教材<<数据结构>>(C语言版 严蔚敏 吴为民 编著) 中该算法的实现
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 | /* 测试数据 教科书 P189 G6 的邻接矩阵 其中 数字 1000000 代表无穷大 6 1000000 1000000 10 100000 30 100 1000000 1000000 5 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 50 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 10 1000000 1000000 1000000 20 1000000 60 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 结果: D[0] D[1] D[2] D[3] D[4] D[5] 0 1000000 10 50 30 60 */ #include <iostream> #include <cstdio> #define MAX 1000000 using namespace std; int arcs[10][10]; //邻接矩阵 int D[10]; //保存最短路径长度 int p[10][10]; //路径 int final[10]; //若final[i] = 1则说明 顶点vi已在集合S中 int n = 0; //顶点个数 int v0 = 0; //源点 int v,w; void ShortestPath_DIJ() { for (v = 0; v < n; v++) //循环 初始化 { final[v] = 0; D[v] = arcs[v0][v]; for (w = 0; w < n; w++) p[v][w] = 0; //设空路径 if (D[v] < MAX) {p[v][v0] = 1; p[v][v] = 1;} } D[v0] = 0; final[v0]=0; //初始化 v0顶点属于集合S //开始主循环 每次求得v0到某个顶点v的最短路径 并加v到集合S中 for ( int i = 1; i < n; i++) { int min = MAX; for (w = 0; w < n; w++) { //我认为的核心过程--选点 if (!final[w]) //如果w顶点在V-S中 { //这个过程最终选出的点 应该是选出当前V-S中与S有关联边 //且权值最小的顶点 书上描述为 当前离V0最近的点 if (D[w] < min) {v = w; min = D[w];} } } final[v] = 1; //选出该点后加入到合集S中 for (w = 0; w < n; w++) //更新当前最短路径和距离 { /*在此循环中 v为当前刚选入集合S中的点 则以点V为中间点 考察 d0v+dvw 是否小于 D[w] 如果小于 则更新 比如加进点 3 则若要考察 D[5] 是否要更新 就 判断 d(v0-v3) + d(v3-v5) 的和是否小于D[5] */ if (!final[w] && (min+arcs[v][w]<D[w])) { D[w] = min + arcs[v][w]; // p[w] = p[v]; p[w][w] = 1; //p[w] = p[v] + [w] } } } } int main() { cin >> n; for ( int i = 0; i < n; i++) { for ( int j = 0; j < n; j++) { cin >> arcs[i][j]; } } ShortestPath_DIJ(); for ( int i = 0; i < n; i++) printf ( "D[%d] = %d\n" ,i,D[i]); return 0; } |