前言 ：

因为之前刚写过最小生成树算法，刚开始看到Dijkstra算法的时候，因为要求各点到源点的最短距离，会想着直接从最小生成树的也是每找到最短的距离点加进来，但是后面仔细想了下，又翻了下定义，得到
最短路径是一个图中2个点的最短距离。
最小生成树是连接所有的点的路径最短，但是不一定是任意两点的距离最小，例如：






最小生成树是：A->B->C AC距离是2+2=4
但是AC的最短距离是3

一 最短路径问题

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括：

1.确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。适合使用Dijkstra算法。

2.确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

3.确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

4.全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。适合使用Floyd算法。

这里我们在这篇中只分析第一种，第四种在下一篇博客将会给出。

二 Dijkstra定义概述

Dijkstra（迪杰斯特拉）算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止（BFS、prime算法都有类似思想）。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。时间复杂度为O(n^2)。问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

三算法描述

3.1 算法思想

设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

3.2 算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

3.3 具体算法实现：

3.1和3.2的内容都是书上所描述的，这里之所以写到，是想让大家先理解源点到各点的最短路径的算法思想大致是怎样的？但是对于如何从U中选取一个距离v最小的点是没有具体方案的，具体用算法实现的时候，这里我是巧妙的利用了邻接矩阵来做的。大致思路：首先我们用邻接矩阵来存图，我们的最终目的是要求V1（源点）到其他点的最小距离，体现在邻接矩阵中，V0（源点）到其他点的初始距离就是第一行的元素值，如果我们想通过各种变换，运算，改变第一行的元素值使其是V0（源点）到其他点的最小距离，这样就很简单了，即通过3.1 3.2的算法思路，来进行邻接矩阵上的操作，使其第一行的元素值就是V0（源点）到其他点的最小距离。。

四 算例

有向图如下：

邻接矩阵为graph：

4.1 变量介绍：

邻接矩阵数组：graph，

下一个点：next，最小值min，中间路线图数组（6个点的）mid

4.2 整体思路：

1)首先将集合V0添加入S集合，遍历第一行(graph[0][j])，找到最小的值对应的列值点j.

2)记录数据：将下一个点next =j 添加入S集合，V0–>Vj最小值min=graph[0][j]。

3)重新初始第一行的值：循环graph[next][j]，判断（graph[next][j]+min）是否小于graph[0][j]（j不在S集合中），若是，则替换后者并记录过程 mid[j] = mid[next] + “->V” + next;

4)循环1),2),3)步骤，直至循环次数为点的个数-1，即6-1=5。

4.3 图形化步骤如下：

（1） 找到第一行的最小值min=10，得到下一个点Next=2，S={0,2}，路径为：V0->V2

（2）将V2行的值加上min=10，与第一行V0,V2内的元素值对比，若小于，则替换.

(替换了graph[0][4]=60)。变换为下面矩阵,然后继续找第一行除V0,V2外的最小值min为30，得到下一个点Next=4，S={0,2,4},路径为：V0->V4

（3）将V4行的值加上min=30，与第一行除V0,V2,V4内的元素值对比，若小于，则替换.

(替换了graph[0][3]=20+30=50,graph[0][5]=60+30=90)。变换为下面矩阵,然后继续找第一行除V0,V2,V4外的最小值min为50，得到下一个点Next=3，S={0,2,4,3},路径为：V0->V4->V3

（4）
将V3行的值加上min=50，与第一行除V0,V2,V4，V3内的元素值对比，若小于，则替换.

(替换了graph[0][5]=graph[3][5]+50=10+50=60)。变换为下面矩阵,然后继续找第一行除V0,V2,V4，V3外的最小值min为60，得到下一个点Next=5，S={0,2,4,3,5},路径为：V0->V4->V3->V5

（5）
将V5行的值加上min=50，与第一行除V0,V2,V4，V3,V5内的元素值对比，若小于，则替换.

(没有替换)。矩阵不变，循环5次结束。

大家走过看过，给个赞吧撒~长得帅的都有这习惯呢·~~

4.4 运行结果图如下：

五 算法应用

源点到各点的最短距离：
后面完善

完整代码：

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;

namespace shortestpath
{
    class Program
    {
        static int[,] graph = new int[6, 6] { { 10000, 10000, 10, 10000, 30, 100 }, { 10000, 10000, 5, 10000, 10000, 10000 }, { 10000, 10000, 10000, 50, 10000, 10000 }, { 10000, 10000, 10000, 10000, 10000, 10 }, { 10000, 10000, 10000, 20, 10000, 60 }, { 10000, 10000, 10000, 10000, 10000, 10000 } };
        static int[] S = new int[6] { 0, 0, 0, 0, 0, 0 };//最短路径的顶点集合
      static string[] mid = new string[6]{"","","","","",""};//点的路线
      public static int IsContain(int m)//判断元素是否在mst中
      {
          int index = -1;
          for (int i = 1; i < 6; i++)
          {
              if (S[i] == m)
              {
                  index = i;
              }
          }
          return index;
      }
        /// <summary>
        /// Dijkstrah实现最短路算法
        /// </summary>
        static void ShortestPathByDijkstra()
        {
            int min;
            int next;
            
            for (int f = 5; f > 0;f--)
            {
                //置为初始值
               
                 min = 1000;
                 next = 0;//第一行最小的元素所在的列 next点
                //找出第一行最小的列值
                for (int j = 1; j < 6; j++)//循环第0行的列
                {
                    if ((IsContain(j) == -1) && (graph[0, j] < min))//不在S中,找出第一行最小的元素所在的列
                    {
                        min = graph[0, j];
                        next = j;
                    }
                }
                //将下一个点加入S
                S[next] = next;
                //输出最短距离和路径
                if (min == 1000)
                {
                    Console.WriteLine("V0到V{0}的最短路径为：无", next);
                }
                else
                {
                    Console.WriteLine("V0到V{0}的最短路径为：{1},路径为：V0{2}->V{0}", next, min, mid[next]);
                }
                // 重新初始0行所有列值
                for (int j = 1; j < 6; j++)//循环第0行的列
                {
                    if (IsContain(j) == -1)//初始化除包含在S中的
                    {
                        if ((graph[next, j] + min) < graph[0, j])//如果小于原来的值就替换
                        {
                            graph[0, j] = graph[next, j] + min;
                            mid[j] = mid[next] + "->V" + next;//记录过程点
                        }
                    }
                }

            }
          
        }

       
        static void Main(string[] args)
        {
            ShortestPathByDijkstra();
           
        }
    }
}