Dijkstra算法（单源最短路径）

      单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。

一.最短路径的最优子结构性质

   该性质描述为：如果P(i,j)={Vi….Vk..Vs…Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。

   假设P(i,j)={Vi….Vk..Vs…Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s)，那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。

二.Dijkstra算法

   由上述性质可知，如果存在一条从i到j的最短路径(Vi…..Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi…Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径，Dijkstra就提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0，首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi，那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}。根据这种思路，

假设存在G=<V,E>，源顶点为V0，U={V0},dist[i]记录V0到i的最短距离，path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。

1.从V-U中选择使dist[i]值最小的顶点i，将i加入到U中；

2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]})

3.知道U=V，停止。

代码实现:

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <string>
#include <iostream>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
#define M 100
#define N 100
typedef struct node
{
    int matrix[N][M];      //邻接矩阵
    int n;                 //顶点数
    int e;                 //边数
} MGraph;
void DijkstraPath(MGraph g,int *dist,int *path,int v0)   //v0表示源顶点
{
    int i,j,k;
    bool *visited=(bool *)malloc(sizeof(bool)*g.n);
    for(i=0; i<g.n; i++)   //初始化
    {
        if(g.matrix[v0][i]>0&&i!=v0)
        {
            dist[i]=g.matrix[v0][i];
            path[i]=v0;     //path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点
        }
        else
        {
            dist[i]=INT_MAX;    //若i不与v0直接相邻，则权值置为无穷大
            path[i]=-1;
        }
        visited[i]=false;
        path[v0]=v0;
        dist[v0]=0;
    }
    visited[v0]=true;
    for(i=1; i<g.n; i++)   //循环扩展n-1次
    {
        int min=INT_MAX;
        int u;
        for(j=0; j<g.n; j++)  //寻找未被扩展的权值最小的顶点
        {
            if(visited[j]==false&&dist[j]<min)
            {
                min=dist[j];
                u=j;
            }
        }
        visited[u]=true;
        for(k=0; k<g.n; k++) //更新dist数组的值和路径的值
        {
            if(visited[k]==false&&g.matrix[u][k]>0&&min+g.matrix[u][k]<dist[k])
            {
                dist[k]=min+g.matrix[u][k];
                path[k]=u;
            }
        }
    }
}
void showPath(int *path,int v,int v0)   //打印最短路径上的各个顶点
{
    stack<int> s;
    int u=v;
    while(v!=v0)
    {
        s.push(v);
        v=path[v];
    }
    s.push(v);
    while(!s.empty())
    {
        cout<<s.top()<<" ";
        s.pop();
    }
}
int main(int argc, char *argv[])
{
    int n,e;     //表示输入的顶点数和边数
    while(cin>>n>>e&&e!=0)
    {
        int i,j;
        int s,t,w;      //表示存在一条边s->t,权值为w
        MGraph g;
        int v0;
        int *dist=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
        int *path=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
        for(i=0; i<N; i++)
            for(j=0; j<M; j++)
                g.matrix[i][j]=0;
        g.n=n;
        g.e=e;
        for(i=0; i<e; i++)
        {
            cin>>s>>t>>w;
            g.matrix[s][t]=w;
        }
        cin>>v0;        //输入源顶点
        DijkstraPath(g,dist,path,v0);
        for(i=0; i<n; i++)
        {
            if(i!=v0)
            {
                showPath(path,i,v0);
                cout<<dist[i]<<endl;
            }
        }
    }
    return 0;
}

　测试数据：

　　运行结果：

转自：http://www.cnblogs.com/dolphin0520/archive/2011/08/26/2155202.html

———————————————————-————–再来一发—————————————————————————————————————————————-

单源最短路径问题[Dijkstra实现]

一、问题

 带权有向图G（E,V), 找出从给定源顶点s到其它顶点v的权最小路径。

“最短路径” = 最小权

二、问题求解：

求1到5的最短路径值？

三、执行过程：

如果大家对这个问题的要求还不是很明白的话那么我再带着大家走一遍：

第一次：从1–>2：10 此时从1–>3没有路径所有是无穷大  1–>4：30  1–>5：100那么我们发现这一组组最小的是10也就是2这一点，所以我们再把2这一点加到集合里面来，那么2这一点就可以当作一个桥来用，

第二次：此时我们再从1à3就可以通过1–>2–>3:60其他的1–>4：30

1–>5：100 可以发现此时最小的应该是3，所以我们再把3这一点加入到这个集合里面来，如此重复的去做这些事情，到最后可以发现1à5的最短路径应该是60（1–>4–>3–>5）

四、Dijkstra伪代码：

int dijkstra(int s,int t)
{
    初始化S= {空集}
                d[s] = 0;
    其余d值为正无穷大
    while (NOT t  in S)
    {
        取出不在S中的最小的d[i];
        for (所有不在S中且与i相邻的点j)
            if (d[j] > d[i] + cost[i][j]) d[j] = d[i] + cost[i][j];
        ( “松弛”操作” )
        S = S + {i}; //把i点添加到集合S里
    }
    return d[t];
}

为何松弛操作：

也就是说如果1–>3这点的值为dist[3]>dist[2]+map[2][3]

那么dist[3]=dits[2]+map[2][3]

五、代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;
#define MAX 9999999
#define LEN 210
int map[LEN][LEN];    //某点到某点两点间的的距离
int dist[LEN];              //记录当前点到源点的最短路径长度
int mark[LEN];           //加入进来的点的集合
//初始化map为正无穷大
void init()
{
    int i,j;
    for(i=0; i<LEN; i++)
        for(j=0; j<LEN; j++)
            map[i][j]=MAX;
}
//n:多少条路  start:起始点
void myDijstra(int n,int start)
{
    int i,j,min,k;
    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        mark[i]=0;//没有点加入
        dist[i]=map[start][i];//初始
    }
    mark[start]=1;//把起始点加进来
    dist[start]=0;
    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        min=MAX;
        for(j=1; j<=n; j++)
        {
            if(!mark[j] && dist[j]<min)     //取出不在mark里的最小的dist[i]
            {
                min=dist[j];
                k=j;//标记
            }
        }
        if(min==MAX)
            break;
        mark[k]=1;//把K加进来
        //做松弛操作
        for(j=1; j<=n; j++)
            if(!mark[j] && dist[j]>dist[k]+map[k][j])
                dist[j]=dist[k]+map[k][j];
    }
}
int main()
{
    int i,j,n,line;
    int a,b,d;
    cin>>n>>line;   //输入点和边
    init();
    for(i=0; i<line; i++)
    {
        cin>>a>>b>>d;  //输入各边的权值
        if(map[a][b]>d)
            map[a][b]=map[b][a]=d;
    }
    myDijstra(n,1);//调用方法
    //输出1到5的最短路径
    cout<<dist[5]<<endl;
    return 0;
}

六、测试数据：

5 7
1 2 10
1 4 30
1 5 100
2 3 50
3 5 10
4 3 20
4 5 60

结果：