Prim算法、Kruskal算法和Dijkstra…

本文转自:http://squirrelrao.iteye.com/blog/1044867

Prim算法和Kruskal算法都能从连通图找出最小生成树。区别在于Prim算法是挨个找,而Kruskal是先排序再找。

 

    一、Prim算法:

    Prim算法实现的是找出一个有权重连通图中的最小生成树,即:具有最小权重且连接到所有结点的树。(强调的是树,树是没有回路的)。

    Prim算法是这样来做的: 

    首先以一个结点作为最小生成树的初始结点,然后以迭代的方式找出与最小生成树中各结点权重最小边,并加入到最小生成树中。加入之后如果产生回路则跳过这条边,选择下一个结点。当所有结点都加入到最小生成树中之后,就找出了连通图中的最小生成树了。

 

    Prim算法最小生成树查找过程:

 

《Prim算法、Kruskal算法和Dijkstra…》

 

C语言实现:

 

C代码  
《Prim算法、Kruskal算法和Dijkstra…》

  1. #include   
  2.   #include   
  3.   #define maxint 1073741824  
  4.   int main()  
  5.   {  
  6.   FILE *input=fopen(“input.txt”,“r”),*out=fopen(“output.txt”,“w”);  
  7.   int n,m,i,j,x,y,w;  
  8.   fscanf(input,“%d %d”,&n,&m);  
  9.   int map[n][n],E[m][3],tree[m],Mst[n][n];  
  10.     
  11.   memset(tree,0,sizeof(tree));  
  12.   for(i=0; i
  13.   {  
  14.   for(j=0; j
  15.   {  
  16.   map[i][j]=maxint;  
  17.   Mst[i][j]=maxint;  
  18.   }  
  19.   E[i][0]=E[i][1]=maxint;  
  20.   }  
  21.   for(i=0; i
  22.   {  
  23.   fscanf(input,“%d %d %d”,&x,&y,&w);  
  24.   if(w
  25.   {  
  26.   map[x][y]=w;  
  27.   map[y][x]=w;  
  28.   }  
  29.   }  
  30.   int min=maxint,next=0,now=0,k=0;  
  31.   tree[0]=1;  
  32.   for(i=0; i
  33.   {  
  34.   for(j=0; j
  35.   {  
  36.   if(map[now][j]!=maxint && tree[j]==0)  
  37.   {  
  38.   E[k][0]=now;  
  39.   E[k][2]=map[now][j];  
  40.   E[k++][1]=j;  
  41.   }  
  42.   }  
  43.   for(j=0; j
  44.   {  
  45.   if(E[j][2]
  46.   {  
  47.   min=E[j][2];  
  48.   x=E[j][0];  
  49.   y=E[j][1];  
  50.   next=y;  
  51.   }  
  52.   }  
  53.   tree[next]=1;  
  54.   now=next;  
  55.   Mst[x][y]=map[x][y];  
  56.   Mst[y][x]=map[y][x];  
  57.   min=maxint;  
  58.   }  
  59.   for(i=0; i
  60.   {  
  61.   for(j=0; j
  62.   {  
  63.   if(Mst[i][j]==maxint) //判断两点是否连通  
  64.   fprintf(out,“00 “); //美化输出,不必多加探究  
  65.   else  
  66.   {  
  67.   fprintf(out,“%d “,Mst[i][j]); //输出生成树的邻接矩阵,要输出树的自己可以根据邻接矩阵的数据进行加工  
  68.   }  
  69.   }  
  70.   fprintf(out,“\n”);  
  71.   }  
  72.   fclose(input);  
  73.   fclose(out);  
  74.   return 0;  
  75.   } // 程序未考虑不是连通图的情况,修改很简单,判断生成树的节点数量是否等于原图的节点数量  
  76.   //如果小于(不会有大于)则本图不是连通图  
  77.   //其实prim和迪杰斯特拉算法核心有相似之处  

 

 

    二、Kruskal算法:

    Kruskal算法与Prim算法的不同之处在于,Kruskal在找最小生成树结点之前,需要对所有权重边做从小到大排序。将排序好的权重边依次加入到最小生成树中,如果加入时产生回路就跳过这条边,加入下一条边。当所有结点都加入到最小生成树中之后,就找出了最小生成树。

 

C语言实现:

 

C代码 

  1.   
  2.     
  3.   #include “stdio.h”  
  4.   #define maxver 10  
  5.   #define maxright 100  
  6.   int G[maxver][maxver],record=0,touched[maxver][maxver];  
  7.   int circle=0;  
  8.   int FindCircle(int,int,int,int);  
  9.   int main()  
  10.   {  
  11.   int path[maxver][2],used[maxver][maxver];  
  12.   int i,j,k,t,min=maxright,exsit=0;  
  13.   int v1,v2,num,temp,status=0;  
  14.   restart:  
  15.   printf(“Please enter the number of vertex(s) in the graph:\n”);  
  16.   scanf(“%d”,&num);  
  17.   if(num>maxver||num<0)  
  18.   {  
  19.   printf(“Error!Please reinput!\n”);  
  20.   goto restart;  
  21.   }  
  22.   for(j=0;j<num;j++)  
  23.   for(k=0;k<num;k++)  
  24.   {  
  25.   if(j==k)  
  26.   {  
  27.   G[j][k]=maxright;  
  28.   used[j][k]=1;  
  29.   touched[j][k]=0;  
  30.   }  
  31.   else  
  32.   if(j<k)  
  33.   {  
  34.   re:  
  35.   printf(“Please input the right between vertex %d and vertex %d,if no edge exists please input -1:\n”,j+1,k+1);  
  36.   scanf(“%d”,&temp);  
  37.   if(temp>=maxright||temp<-1)  
  38.   {  
  39.   printf(“Invalid input!\n”);  
  40.   goto re;  
  41.   }  
  42.   if(temp==-1)  
  43.   temp=maxright;  
  44.   G[j][k]=G[k][j]=temp;  
  45.   used[j][k]=used[k][j]=0;  
  46.   touched[j][k]=touched[k][j]=0;  
  47.   }  
  48.   }  
  49.   for(j=0;j<num;j++)  
  50.   {  
  51.   path[j][0]=0;  
  52.   path[j][1]=0;  
  53.   }  
  54.   for(j=0;j<num;j++)  
  55.   {  
  56.   status=0;  
  57.   for(k=0;k<num;k++)  
  58.   if(G[j][k]<maxright)  
  59.   {  
  60.   status=1;  
  61.   break;  
  62.   }  
  63.   if(status==0)  
  64.   break;  
  65.   }  
  66.   for(i=0;i<num-1&&status;i++)  
  67.   {  
  68.   for(j=0;j<num;j++)  
  69.   for(k=0;k<num;k++)  
  70.   if(G[j][k]<min&&!used[j][k])  
  71.   {  
  72.   v1=j;  
  73.   v2=k;  
  74.   min=G[j][k];  
  75.   }  
  76.   if(!used[v1][v2])  
  77.   {  
  78.   used[v1][v2]=1;  
  79.   used[v2][v1]=1;  
  80.   touched[v1][v2]=1;  
  81.   touched[v2][v1]=1;  
  82.   path[0]=v1;  
  83.   path[1]=v2;  
  84.   for(t=0;t<record;t++)  
  85.   FindCircle(path[t][0],path[t][0],num,path[t][0]);  
  86.   if(circle)  
  87.   {  
  88.   circle=0;  
  89.   i–;  
  90.   exsit=0;  
  91.   touched[v1][v2]=0;  
  92.   touched[v2][v1]=0;  
  93.   min=maxright;  
  94.   }  
  95.   else  
  96.   {  
  97.   record++;  
  98.   min=maxright;  
  99.   }  
  100.   }  
  101.   }  
  102.   if(!status)  
  103.   printf(“We cannot deal with it because the graph is not connected!\n”);  
  104.   else  
  105.   {  
  106.   for(i=0;i<num-1;i++)  
  107.   printf(“Path %d:vertex %d to vertex %d\n”,i+1,path[0]+1,path[1]+1);  
  108.   }  
  109.   return 1;  
  110.   }  
  111.   int FindCircle(int start,int begin,int times,int pre)  
  112.   {   
  113.   int i;  
  114.   for(i=0;i<times;i++)  
  115.   if(touched[begin]==1)  
  116.   {  
  117.   if(i==start&&pre!=start)  
  118.   {  
  119.   circle=1;  
  120.   return 1;  
  121.   break;  
  122.   }  
  123.   else  
  124.   if(pre!=i)  
  125.   FindCircle(start,i,times,begin);  
  126.   else  
  127.   continue;  
  128.   }  
  129.   return 1;  
  130.   }  

 

 无疑,Kruskal算法在效率上要比Prim算法快,因为Kruskal只需要对权重边做一次排序,而Prim算法则需要做多次排序。尽管Prim算法每次做的算法涉及的权重边不一定会涵盖连通图中的所有边,但是随着所使用的排序算法的效率的提高,Kruskal算法和Prim算法之间的差异将会清晰的显性出来。

Dijkstra算法是典型最短路算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解,但由于它遍历计算的节点很多,所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。 

算法思想

Dijkstra算法思想为:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将 加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2.3  Dijkstra算法具体步骤  

1)初始时,S只包含源点,即S=,v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,U中顶点u距离为边上的权(若v与u有边)或 )(若u不是v的出边邻接点)。

(2)从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。

(3)以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u(u U)的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

(4)重复步骤(2)和(3)直到所有顶点都包含在S中。

2.4  Dijkstra算法举例说明

如下图,设A为源点,求A到其他各顶点(B、C、D、E、F)的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离,即权值。(注:此图为随意所画,其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等)

图一:Dijkstra无向图

 《Prim算法、Kruskal算法和Dijkstra…》

算法执行步骤如下表:【注:图片要是看不到请到“相册–日志相册”中,名为“Dijkstra算法过程”的图就是了】

《Prim算法、Kruskal算法和Dijkstra…》

    原文作者:Dijkstra算法
    原文地址: https://blog.csdn.net/rxm1989/article/details/39550531
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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