本文转自:http://squirrelrao.iteye.com/blog/1044867
Prim算法和Kruskal算法都能从连通图找出最小生成树。区别在于Prim算法是挨个找,而Kruskal是先排序再找。
一、Prim算法:
Prim算法实现的是找出一个有权重连通图中的最小生成树,即:具有最小权重且连接到所有结点的树。(强调的是树,树是没有回路的)。
Prim算法是这样来做的:
首先以一个结点作为最小生成树的初始结点,然后以迭代的方式找出与最小生成树中各结点权重最小边,并加入到最小生成树中。加入之后如果产生回路则跳过这条边,选择下一个结点。当所有结点都加入到最小生成树中之后,就找出了连通图中的最小生成树了。
Prim算法最小生成树查找过程:
C语言实现:
- #include
- #include
- #define maxint 1073741824
- int main()
- {
- FILE *input=fopen(“input.txt”,“r”),*out=fopen(“output.txt”,“w”);
- int n,m,i,j,x,y,w;
- fscanf(input,“%d %d”,&n,&m);
- int map[n][n],E[m][3],tree[m],Mst[n][n];
- memset(tree,0,sizeof(tree));
- for(i=0; i
- {
- for(j=0; j
- {
- map[i][j]=maxint;
- Mst[i][j]=maxint;
- }
- E[i][0]=E[i][1]=maxint;
- }
- for(i=0; i
- {
- fscanf(input,“%d %d %d”,&x,&y,&w);
- if(w
- {
- map[x][y]=w;
- map[y][x]=w;
- }
- }
- int min=maxint,next=0,now=0,k=0;
- tree[0]=1;
- for(i=0; i
- {
- for(j=0; j
- {
- if(map[now][j]!=maxint && tree[j]==0)
- {
- E[k][0]=now;
- E[k][2]=map[now][j];
- E[k++][1]=j;
- }
- }
- for(j=0; j
- {
- if(E[j][2]
- {
- min=E[j][2];
- x=E[j][0];
- y=E[j][1];
- next=y;
- }
- }
- tree[next]=1;
- now=next;
- Mst[x][y]=map[x][y];
- Mst[y][x]=map[y][x];
- min=maxint;
- }
- for(i=0; i
- {
- for(j=0; j
- {
- if(Mst[i][j]==maxint) //判断两点是否连通
- fprintf(out,“00 “); //美化输出,不必多加探究
- else
- {
- fprintf(out,“%d “,Mst[i][j]); //输出生成树的邻接矩阵,要输出树的自己可以根据邻接矩阵的数据进行加工
- }
- }
- fprintf(out,“\n”);
- }
- fclose(input);
- fclose(out);
- return 0;
- } // 程序未考虑不是连通图的情况,修改很简单,判断生成树的节点数量是否等于原图的节点数量
- //如果小于(不会有大于)则本图不是连通图
- //其实prim和迪杰斯特拉算法核心有相似之处
二、Kruskal算法:
Kruskal算法与Prim算法的不同之处在于,Kruskal在找最小生成树结点之前,需要对所有权重边做从小到大排序。将排序好的权重边依次加入到最小生成树中,如果加入时产生回路就跳过这条边,加入下一条边。当所有结点都加入到最小生成树中之后,就找出了最小生成树。
C语言实现:
C代码
- #include “stdio.h”
- #define maxver 10
- #define maxright 100
- int G[maxver][maxver],record=0,touched[maxver][maxver];
- int circle=0;
- int FindCircle(int,int,int,int);
- int main()
- {
- int path[maxver][2],used[maxver][maxver];
- int i,j,k,t,min=maxright,exsit=0;
- int v1,v2,num,temp,status=0;
- restart:
- printf(“Please enter the number of vertex(s) in the graph:\n”);
- scanf(“%d”,&num);
- if(num>maxver||num<0)
- {
- printf(“Error!Please reinput!\n”);
- goto restart;
- }
- for(j=0;j<num;j++)
- for(k=0;k<num;k++)
- {
- if(j==k)
- {
- G[j][k]=maxright;
- used[j][k]=1;
- touched[j][k]=0;
- }
- else
- if(j<k)
- {
- re:
- printf(“Please input the right between vertex %d and vertex %d,if no edge exists please input -1:\n”,j+1,k+1);
- scanf(“%d”,&temp);
- if(temp>=maxright||temp<-1)
- {
- printf(“Invalid input!\n”);
- goto re;
- }
- if(temp==-1)
- temp=maxright;
- G[j][k]=G[k][j]=temp;
- used[j][k]=used[k][j]=0;
- touched[j][k]=touched[k][j]=0;
- }
- }
- for(j=0;j<num;j++)
- {
- path[j][0]=0;
- path[j][1]=0;
- }
- for(j=0;j<num;j++)
- {
- status=0;
- for(k=0;k<num;k++)
- if(G[j][k]<maxright)
- {
- status=1;
- break;
- }
- if(status==0)
- break;
- }
- for(i=0;i<num-1&&status;i++)
- {
- for(j=0;j<num;j++)
- for(k=0;k<num;k++)
- if(G[j][k]<min&&!used[j][k])
- {
- v1=j;
- v2=k;
- min=G[j][k];
- }
- if(!used[v1][v2])
- {
- used[v1][v2]=1;
- used[v2][v1]=1;
- touched[v1][v2]=1;
- touched[v2][v1]=1;
- path[0]=v1;
- path[1]=v2;
- for(t=0;t<record;t++)
- FindCircle(path[t][0],path[t][0],num,path[t][0]);
- if(circle)
- {
- circle=0;
- i–;
- exsit=0;
- touched[v1][v2]=0;
- touched[v2][v1]=0;
- min=maxright;
- }
- else
- {
- record++;
- min=maxright;
- }
- }
- }
- if(!status)
- printf(“We cannot deal with it because the graph is not connected!\n”);
- else
- {
- for(i=0;i<num-1;i++)
- printf(“Path %d:vertex %d to vertex %d\n”,i+1,path[0]+1,path[1]+1);
- }
- return 1;
- }
- int FindCircle(int start,int begin,int times,int pre)
- {
- int i;
- for(i=0;i<times;i++)
- if(touched[begin]==1)
- {
- if(i==start&&pre!=start)
- {
- circle=1;
- return 1;
- break;
- }
- else
- if(pre!=i)
- FindCircle(start,i,times,begin);
- else
- continue;
- }
- return 1;
- }
无疑,Kruskal算法在效率上要比Prim算法快,因为Kruskal只需要对权重边做一次排序,而Prim算法则需要做多次排序。尽管Prim算法每次做的算法涉及的权重边不一定会涵盖连通图中的所有边,但是随着所使用的排序算法的效率的提高,Kruskal算法和Prim算法之间的差异将会清晰的显性出来。
Dijkstra算法是典型最短路算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解,但由于它遍历计算的节点很多,所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。
算法思想
Dijkstra算法思想为:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将 加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2.3 Dijkstra算法具体步骤
(1)初始时,S只包含源点,即S=,v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,U中顶点u距离为边上的权(若v与u有边)或 )(若u不是v的出边邻接点)。
(2)从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。
(3)以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u(u U)的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
(4)重复步骤(2)和(3)直到所有顶点都包含在S中。
2.4 Dijkstra算法举例说明
如下图,设A为源点,求A到其他各顶点(B、C、D、E、F)的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离,即权值。(注:此图为随意所画,其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等)
图一:Dijkstra无向图
算法执行步骤如下表:【注:图片要是看不到请到“相册–日志相册”中,名为“Dijkstra算法过程”的图就是了】