迪杰斯特拉(Dijkstra)算法描述及其正确性证明

2019年3月17日 431次阅读 来源: Dijkstra算法

1. 算法描述

Dijkstra算法是图论中常用的一个算法，用于计算图中从一个指定点到其余所有点的最短路径。图是有向图，所有边的权重为非负数，图1是满足条件的一个简单有向图。

《迪杰斯特拉(Dijkstra)算法描述及其正确性证明》

图1 有向加权图示例

在图1中，A到D的最短路径是A–>C–>B–>D，其长度为3+2+5=10。

其算法实现代码如下（数据结构与算法分析C++版）：

void Dijkstra(Graph *G, int *D, int s){
  int i, v, w;

  for(i = 0; i < G->n(); i++){
    D[i] = INFINITY;
  }
  D[0] = 0;
  for(i = 0; i < G->n(); i++){
    v = minVertex(G, D);
    if(D[v] == INFINITY)
      return;
    G->setMark(v, VISITED);
    for(w = G->first(v); w < G->n(); w = G->next(v, w))
      if(D[w] > (D[v] + G->weight(v,w)))
        D[w] = D[v] + G->weight(v, w);
  }
}

int minVertex(Graph *G, int *D){
  int i, v=-1;

  for(i = 0; i < G->n(); i++){
    if(G->getMark(i) == UNVISITED){
      v = i;
      break;
    }
  }
  for(i++; i < G->n(); i++){
    if((G->getMark(i) == UNVISITED) && (D[i] < D[v]))
    v = i;
  }
  return v;
}

算法中的每个结点使用整数表示，数组D[ ]定义了从出发点s到每个点v的最短路径，被初始化为INFINITY。另外，每个结点还有一个标识（Mark），通过函数setMark和getMark来设置和读取。标识具有两种状态：VISITED和UNVISITED。算法的工作步骤被描述如下：

1. 把所有结点的标识都设为UNVISITED，距离设为INFINIT。

2. 把出发点s的距离设置为0，状态设置为VISITED。

3. 从图中所有UNVISITED的点中选择距离最小的结点v。

4. 设置v的状态为VISITED。

5. 用v来更新其相邻结点。若某相邻结点u的当前距离D[u] > D[v] + weight(v, u)，则把u的距离D[u]更新为D[v] + weight(v, u)。

6. 重复3到5步的操作，直到所有结点状态都被设置为VISITED。

以图1为例，算法的计算过程为：

1. D[A] = 0。

2. 选择D[A]为距离最小的结点，设其状态为VISITED；更新D[B] = 10, D[C] = 3, D[D] = 20。

3. 选择D[C]为距离最小的结点，设其状态为VISITED；更新D[B] = D[C] + weight(C, B) = 3 + 2 = 5, D[E] = D[C] + weight(C, E) = 3 + 15 =18。

4. 选择D[B]为距离最小的结点，设其状态为VISITED；更新D[D] = D[B] + weight(B, D) = 5 + 5 = 10。

5. 选择D[D]为距离最小的结点，设其状态为VISITED；与D相连的结点E的距离D[E] = 18，小于D[D] + weight(D, E) = 10 + 11 = 21，所以不需要更新。

6. 选择D[D]为距离最小的结点，设其状态为VISITED；没有相连的点，所以不需要更新。

所以最终每个点的最小距离为D[A] = 0; D[B] = 5]; D[C] = 3]; D[D] = 10; D[E] = 18.

2. 算法正确性证明

上一节描述的Dijkstra算法把图中的结点分为两个部分，分别标记为VISITED和UNVISITED，使用S和V-S来表示。为证明的方便，区分了S和V-S中的点的距离函数，分别为D和D_est，V-S中的距离函数被称为估值函数。算法的主要操作是循环执行第3到5步。证明算法的正确性，可以通过证明每次循环执行之前，S和V-S中的结点满足以下3条属性，执行之后依然满足。

属性1. S中任意m的点的的路径长度D[m]就是其最短路径。

属性2. 估值函数满足下述条件：

《迪杰斯特拉(Dijkstra)算法描述及其正确性证明》

也就是说，对于V-S中的任意结点n，其估值路径D_est[n]是其只通过S中结点的最短路径。

属性3. V-S中估值最小的点n，D_est[n]的值就是其最短路径。

算法第一步S={s}，只包含出发结点，且D[s]=0，故而满足属性1，更新相邻结点之后，容易证明，也满足属性2。属性3则需要证明，过程如下。

证明：假设D_est[n]不是n的最短路径，因为D_est是只通过S中结点的最短路径，所以结点n的真实的最短路径必然会经过集合S之外的结点，设路径上第一个非S中的点为j。则真实的最短路径的形式为s->…->j->…->n。因为假设了j之前的点都是S中的，所以根据属性2，D_est[j] < =D[n] < D_est[n]，与n是估值最小的结点矛盾，所以属性成立。

算法接下来的操作是把n加入S，并试图更新V-S中结点的距离估值，容易证明，3-5步的一次操作之后，属性1-3仍然满足，所以得证。

     原文作者：Dijkstra算法
     原文地址: https://blog.csdn.net/softee/article/details/39034129
    本文转自网络文章，转载此文章仅为分享知识，如有侵权，请联系博主进行删除。 
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