最短路径之Dijkstra算法

2019年3月17日 291次阅读来源: Dijkstra算法

Dijkstra（迪杰斯特拉）算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止（BFS、prime算法都有类似思想）。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

1、算法思想

令G = （V，E）为一个带权有向网，把图中的顶点集合V分成两组：已求出最短路径的顶点集合S（初始时S中只有源节点，以后每求得一条最短路径，就将它对应的顶点加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中）；未确定最短路径的顶点集合V-S。在加入过程中，总保持从源节点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源节点v到V-S中任何顶点的最短路径长度。

2、算法描述

（1）S为已经找到的从v出发的最短路径的终点集合，它的初始状态为空集，那么从v出发到图中其余各顶点（终点）vi（vi∈V-S）可能达到的最短路径长度的初值为：

d[i] = arcs[LocateVex(G, v)][i]，vi∈V

（2）选择vj，使得 d[j] = Min{d[i]|vi属于V-S}，vj就是当前求得的一条从v出发的最短路径的终点。令S=S∪{j}；

（3）修改从v出发到集合V-S上任一顶点vk可达的最短路径长度。如果 d[j] + arcs[j][k] < d[k]，则修改d[k]为：d[k] = d[j] + arcs[j][k]；

（4）重复（2），知道所有顶点都包含在S中，此时得到v到图上其余各顶点的最短路径是依路径长度递增的序列。

具体图例与算法执行步骤：（从A开始，到各节点的最短路径）

《最短路径之Dijkstra算法》

具体执行步骤如下图所示：

《最短路径之Dijkstra算法》

PS：图片右下角是原作者的博客地址。

3、算法具体实现

typedef int PathMatrix;            //用于存储最短路径序列的顶点下标数组
typedef EdgeType ShortPathTable;  //用于存储到各点最短路径的权值和

/* Dijkstra算法求有向网g的下标为v0的顶点到其余顶点下标为v的最短路径P[v]及带权长度D[v] */ 
/* P[v]的值为前驱顶点下标,D[v]表示v0到v的最短路径长度和 */ 
void ShortestPath_DIJ(Graph *g, int v0, PathMatrix p[], ShortPathTable d[])
{
	int i, v, w, k;
	EdgeType min;
	bool final[MAX_VEX];	/* final[w]=1表示求得顶点V0至Vw的最短路径 */

	//初始化数据
	for (v = 0; v < g->vexNum; v++)
	{
		final[v] = false;	   //全部顶点初始化为未知最短路径状态
		d[v] = g->arc[v0][v];  //将与v0点有连线的顶点加上权值
		p[v] = v0;			   //初始化路径数组P为v0
	}
	d[v0] = 0;				  //v0至v0的路径为0
	final[v0] = true;		  //v0∈S, v0至v0不需要求路径

	//开始主循环，每次求得v0到某个v顶点的最短路径,并 加入v到集合S
	for (i = 0; i < g->vexNum; i++)
	{
		if (i == v0) continue;
		min = INFINITY;
		for (w = 0; w < g->vexNum; w++)	 //寻找V-S中离v0最近的顶点
		{
			if (!final[w] && d[w] < min)
			{
				min = d[w];	   //下标为w的顶点离v0更近
				v = w;
			}
		}
                //if (v == t) break;    //如果只查找到下标为t的某个顶点
		final[v] = true;	//下标为k的顶点并入集合S,即将当前找到了最短路径的顶点标记为true

		//更新当前最短路径及距离
		for (w = 0; w < g->vexNum; w++)
		{
			//如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短的话
			if (!final[w] && (min + g->arc[v][w] < d[w]))
			{
				//说明找到了更短的路径，修改D[w]和P[w]
				d[w] = min + g->arc[v][w];
				p[w] = v;
			}
		}
	}
}

下面是根据路径数组PathMatrix得到具体的路径序列：

// 查找从源点v到终点u的路径,并输出
void SearchPath(VertexType vex[], PathMatrix *prev,int v, int u)
{
	int que[MAX_VEX];
	int tot = 0;
	que[tot++] = u;	 //终点u
	int tmp = prev[u];   //到顶点下标u的路径上的上一个顶点下标
	while(tmp != v)
	{
		que[tot++] = tmp;
		tmp = prev[tmp];   //到顶点下标tmp的路径上的上一个顶点下标
	}
	que[tot] = v;
	for(int i = tot; i >= 0; --i)
		if(i != 0)
			printf("%c -> ", vex[que[i]]);
		else
			printf("%c", vex[que[i]]);
}

以上面的无向网为例，运行结果截图：

《最短路径之Dijkstra算法》