最小费用最大流 修改的dijkstra

最小费用最大流 修改的dijkstra 
+
 Ford

Fulksonff算法
修改的dijkstra其实和Johnson算法的思想是一致的。
 原地址:http://www.cppblog.com/guojingjia2006/archive/2009/11/12/57905.html
一个求最小费用最大流的朴素算法是这样的:

1
 求最小费用增广路

2
 判断是否存在增广路,否的话算法终止。

3
 增加增广路上边的流量

4
 在增广路上添加必要的逆向负权边

5
 
goto
 
1

 
因为负权边的存在,求最小费用增广路就不可以用dijkstra算法。当然,我们可以用bellman


ford算法,可是这样的话求一次最短路的时间代价就是O(e
*
n),e是边数,n是顶点数。代价大了点,如果能用dijkstra算法就好了。利用Johnson算法的思想,这是可以做到的。
 
第一次求最短路可以用dijkstra算法(如果一开始就有负权边,那就用bellman


ford算法,这没关系),求出源点到所有点的距离,嗯,我说的距离是指路径上边的费用之和的最小值。注意,要求出到所有点的距离,而不是求出到汇点的距离就完事了。
假设有一条边u

->
v,源点到u的距离是d[u],到v的距离是d[v],边的费用(权值)是w(u,v)。很显然,d[u]
+
w(u,v)
>=
d[v],不然的话,你会发现一条更好的路径从源点到v。问题是,什么时候取等呢?当u
->
v在v的最优路径上,范围说小一点,当u
->
v在从源点到汇点的最优路径,即最小费用增广路上。
好的,如果u

->
v被你增载了,你要开始添负权边v
->
u了,权值取负,就是

w(u,v)。负权就是讨厌,是正的就好了,dijkstra算法就可以再用了。怎么办呢,把负权边加个权值,让它非负。要加多少呢,d[v]

d[u]。当然不能只加一条边,对所有边,无论原有的还是新添的,按这个规则加,构造一个新的图:
                对边a

->
b,新的边权w

(a,b)=w(a,b)+d[a]-d[b]


现在来看看你的杰作:
                对原来的边u

->
v, w

(u,v)=w(u,v)+d[u]-d[v]: 记得么d[u]+w(u,v)>=d[v], 所以 w

(u,v) 
>=
 
0

                对新加的负权边v

->
u, w

(v,u)=w(v,u)+d[v]-d[u]=-w(u,v)+d[v]-d[u]: 记得么d[u]+w(u,v)==d[v],这里可是取等号的,所以w

(v,u) 
==
 
0

哈哈,这下所有边又是非负的了。
可是,问题是,为啥不每个边加个足够大的正数,这样不是所有边也都是正的了么。仔细想想,边权为啥要为正,不就是为了求源点到汇点的最短路方便么,可是,都加大正数的话,你求出的最短路和原来图的最短路能一致么,不能,为啥,画个三角形,自己想想。可是,我的方法就能一致么,能。我证明给你看。
 
假设从源点s到汇点t有一条路径s

->
a
->
b
->
c
->
d《最小费用最大流 修改的dijkstra》.
->
t,在原图中的路径长度为
                 w(s,a)

+
w(a,b)
+
w(b,c)
+
《最小费用最大流 修改的dijkstra》
+
w(x,t)
在新图中的路径为
                 w


(s,a)+w

(a,b)
+
w

(b,c)+《最小费用最大流 修改的dijkstra》w

(x,t)
展开来就是
                 w(s,a)

+
d[a]

d[s]
+
w(a,b)
+
d[b]

d[a]
+
w(c,d)
+
d[d]

d[b]
+
《最小费用最大流 修改的dijkstra》.
+
w(x,t)
+
d[t]

d[x]
消阿消,d[a]和


d[a],d[b]和

d[b]《最小费用最大流 修改的dijkstra》d[x]和

d[x],剩下什么呢:
                 w(s,a)

+
w(a,b)
+
w(b,c)
+
《最小费用最大流 修改的dijkstra》
+
w(x,t)
+
d[t]

d[s]
噢,不就比原图中多d[t]


d[s]么(其实d[s]
==
0
)。这可是对所有s到t的路径都成立的,既然所有路径,在新图中的权值都比在原图中的权值多了d[t],那么,新图的最短路,也就对应原图的最短路,只不过路径长度多了d[t],这不仅对t成立,对所有节点u都成立,只不过新图中到u的最短路长度比原图多了d[u]。
 
好,用dijkstra算法,第二次求出最短路。然后求出新的d’[u],然后添加新的边,然后准备第三次的dijkstra算法。。。为什么第二次可以这样做,第三次还可以这样做,第三次的原图可能有很多负权边啊?我可没说过w(u,v)

>=
0这样的限制,所以,即使原图有负权边还是可以这样做的。
 
好了,第一次dijkstra算法(或者bellman


ford算法,如果有负权边的话,只用一次,不会成为瓶颈的),然后每次求最小增广路用一次修改的dijkstra算法。这个算法求最小费用最大流复杂度是O(m
*
n
*
n), m是最大流量,或者是求增广路次数的上界。最后,如果用这个算法来求最优匹配问题,复杂度是O(n
^
3
)的。

    原文作者:Dijkstra算法
    原文地址: https://blog.csdn.net/u014644714/article/details/68929343
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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