Dijkstra algorithm(迪杰斯特拉算法)是用来求单源最短路径的，确定哪个是源点之后，可以得到从源点到其余所有顶点之间的最短路径和最短距离（最短路径是指经过哪些结点，最短距离是指最短路径经过的距离）。它适用于非负权值的带权图。

1. Dijkstra algorithm的原理

    首先我们来看三个顶点，如何进行单源最短路径规划：

    我们再来看四个顶点，如何进行单源最短路径规划：

    我们从以上过程得到规律：

    假如我们用G=(V,E)来表示我们的图。我们要准备一个集合S，来表示已经规划好的最短路径内的顶点，那么V-S就是还没规划好的顶点。还需要一个向量dist，用来存放点点之间的距离，和一个向量path，来存放经过的顶点号，往后可以用于解读得到最短路径是什么。

    step1：初始化dist和path，dist为点点距离，如果不连通则为nan；path为经过节点号（matlab的节点号是从1开始），自己到自己为-1，不连通也为-1。

    step2：对S中任意一个点，得到它和V-S中任意一个点的距离，这里的距离不是一开始的距离，而是dist中对应的值（dist中的值可以由step2进行更新），从中选择距离最小的值，这就是可以确定的最短路径，并且记录下，这个最短路径的末节点号设为min，将min放入S集合。如果道路不通，就进入step4；（这一阶段可以叫做最短路径判断）

    step3：根据step1中的min作为中间节点，去寻找V-S中的所有节点，设为k，去看是否dist(min)+min到k的距离<dist(k)（dist(k)就是源点直接到k的距离），如果满足，则将dist(k)进行更新，值更新为dist(min)+min到k的距离，并且path(k)记录下min。（这一阶段可以叫做顶点间距离更新）

   step4：进入step1，重复定点数-1次

    基于这样的算法，我们得到了下面的程序。

    另外，还有一个要讲的，就是关于path的解读。这也涉及到了，下面的接口的最后一段解读过程的原始思想：

    对于上面的四个顶点的情况，假如出现这样的情况(后面的几个数据是我瞎写的)，path(3)=1,path(2)=3,path(4)=2，那么我们怎么解读，首先我们知道path(1)=-1的，这是真的，算法step定义好了的。那么，A到C也就是path(3)=1，‘1’说明经过的节点是1，1就是A，所以A到C的最短路径就是AC。那么再来看path(2)=3，A到B之间经过了3也就是C，但是3由path(3)=1可以得到又经过了节点A，所以A到B最短路径ACB。那么这样的方法看path(4)=2，A到D经过‘2’也就是B，由前面可以得到，A到B又经过C，A到C只经过A自己，所以最短路径ACBD。

    把这一过程总结一下，就是一个解读path的算法:

先建一个向量存放经过的节点，each_path = [];

对于第i个path(i)，i’=path(i);

Repeat

{

把i‘放进each_path;

i’=path(i’);

}直到i’=-1

把each_path逆序遍历就可以得到从源点到i号顶点的最短路径经过的所有顶点号

2. Dijkstra algorithm的使用

    对于一个这样的图：

    求它的单源最短路径。

    关于Dijkstra algorithm的使用，提供给大家两个自己开发的接口，写了很长时间啊，第一个接口取名dijkstra_algo()，新建一个m-file，取名dijkstra_algo.m，内容如下：

————————————————————————————

% 任务目标：开发Dijkstra算法的接口，输入是源点号index_i、邻接矩阵mat，输出是
% 最短距离向量dist、最短路径阵向量path，以及命令行输出详细规划
function [dist, path] = dijkstra_algo(index_i, mat)
max_weight = 65536;
n = size(mat,2);
% s用来记录已存的顶点，为1表示已存进s集合
s = zeros(1,n);
s(index_i) = 1;
% 初始化dist和path向量，向量运算复杂度较矩阵运算低
dist = zeros(1,n);
path = zeros(1,n);
for i = 1:n,
    dist(i) = mat(index_i,i);
    if ~isnan(dist(i)) && i~=index_i,
        path(i) = index_i;
    else
        path(i) = -1;
    end
end

for j = 1:n,
    if j~=index_i,
        min_dist = 65535;
        min = 1;
        % 找到到其他点的最近的距离，存入min_dist,顶点号存入min
        for k = 1:n,
            % 找到最小的路径和距离，以确定这一次的最短路径
            if s(k)~=1 && ~isnan(dist(k)) && dist(k)<min_dist,
                min_dist = dist(k);
                min = k;
            end
        end
        % 如果没有连通的路径，则结束
        % 此种情况一般出现较少的，寻路断
        if isnan(min_dist),
            break;
        end
        
        s(min) = 1; % 确定一条最短路径，(index_i,min)，min并入s
        for k = 1:n,
            if isnan(dist(k)),
                dist(k) = max_weight;
            end
            if s(k)~=1 && ~isnan(mat(min,k)) && dist(min) +…
                    mat(min,k) < dist(k),
                dist(k) = dist(min) + mat(min,k);
                path(k) = min;
            end
        end
    else
        %无操作
    end
end
% 输出路径 解读dist和path
fprintf(‘源点为%d最短路径如下：\n’,index_i);
for i = 1:n,
    each_path = [];
    if i ~= index_i,
        j = i;
        while(path(j)~=-1),
            each_path = [each_path j];
            j = path(j);
        end
        each_path = [each_path j];
        fprintf(‘第%d条：’,i);
        col_num = size(each_path,2);
        for k = 1:col_num,
            fprintf(‘顶点号%d ‘,each_path(col_num+1-k));
        end
        fprintf(‘，距离是%d\n’,dist(i));
    else
        fprintf(‘第%d条：顶点%d到它自己，距离为0\n’,i,index_i);
    end
end
end

—————————————————————————————————-

    另起一个m-file，取名dijkstra_algo_test.m，内容如下：

—————————————————————————————————–

% 邻接矩阵（如果不明白邻接矩阵的概念，网上搜一下就好了）
mat = [0 10 nan 30 99;nan 0 50 40 nan;nan nan 0 nan 10;nan nan 20 0 60;nan nan nan nan 0];
[dist,path] = dijkstra_algo(1,mat);

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    得到的结果包含两部分：一部分是接口的输出dist和path向量。另一部分是命令行的友好的文字显示：

    我们改变源点再来测试一下，把源点改成2号顶点。

    其中距离达到65536代表到这个顶点的距离是无穷大，也就是不连通。

    第二个接口是带顶点名字的，也就是又做了一些小改进，取名dijkstra_algo_name，新建一个m-file，取名dijkstra_algo_name.m，内容如下：

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% 任务目标：开发Dijkstra算法的接口，输入是源点号index_i、邻接矩阵mat，
% 和顶点名字name，输出是最短距离向量dist、最短路径阵向量path，
% 以及命令行输出详细规划（带name）
function [dist, path] = dijkstra_algo_name(index_i, mat,name)
max_weight = 65536;
n = size(mat,2);
% s用来记录已存的顶点，为1表示已存进s集合
s = zeros(1,n);
s(index_i) = 1;
% 初始化dist和path向量，向量运算复杂度较矩阵运算低
dist = zeros(1,n);
path = zeros(1,n);
for i = 1:n,
    dist(i) = mat(index_i,i);
    if ~isnan(dist(i)) && i~=index_i,
        path(i) = index_i;
    else
        path(i) = -1;
    end
end

for j = 1:n,
    if j~=index_i,
        min_dist = 65535;
        min = 1;
        % 找到到其他点的最近的距离，存入min_dist,顶点号存入min
        for k = 1:n,
            % 找到最小的路径和距离，以确定这一次的最短路径
            if s(k)~=1 && ~isnan(dist(k)) && dist(k)<min_dist,
                min_dist = dist(k);
                min = k;
            end
        end
        % 如果没有连通的路径，则结束
        % 此种情况一般出现较少的，寻路断
        if isnan(min_dist),
            break;
        end
        
        s(min) = 1; % 确定一条最短路径，(index_i,min)，min并入s
        for k = 1:n,
            if isnan(dist(k)),
                dist(k) = max_weight;
            end
            if s(k)~=1 && ~isnan(mat(min,k)) && dist(min) +…
                    mat(min,k) < dist(k),
                dist(k) = dist(min) + mat(min,k);
                path(k) = min;
            end
        end
    else
        %无操作
    end
end
% 输出路径 解读dist和path
fprintf(‘源点为%s最短路径如下：\n’,name(index_i));
for i = 1:n,
    each_path = [];
    if i ~= index_i,
        j = i;
        while(path(j)~=-1),
            each_path = [each_path j];
            j = path(j);
        end
        each_path = [each_path j];
        fprintf(‘第%d条：’,i);
        col_num = size(each_path,2);
        for k = 1:col_num,
            fprintf(‘顶点%s ‘,name(each_path(col_num+1-k)));
        end
        fprintf(‘，距离是%d\n’,dist(i));
    else
        fprintf(‘第%d条：顶点%s到它自己，距离为0\n’,i,name(index_i));
    end
end
end

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    同样，写测试代码，另建一个m-file，取名dijkstra_algo_name_test.m，内容如下：

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% 邻接矩阵
mat = [0 10 nan 30 99;nan 0 50 40 nan;nan nan 0 nan 10;nan nan 20 0 60;nan nan nan nan 0];
% 邻接矩阵行列号对应顶点名称
name = [‘A’,’B’,’C’,’D’,’E’];
[dist,path] = dijkstra_algo_name(1,mat,name);

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    那么我们看一下运行结果：path和dist大家就自己去看吧，我们看一下解读过后的路径和距离

    我们和前面一样，把源点切换成2号顶点，也就是’B’，也就是把测试代码中把调用接口的参数改一下就可以，看一下结果

    测试通过。

    开发这两个接口的用意是，假如顶点数目很多，并且顶点名字不易导入，那么我们直接用第一个接口比较省力；如果需要更人性化的结果显示，并且顶点名字易于导入，那么我们就用第二个接口为好。

    如果大家看不太懂，可以直接用的。

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