Dijkstra：适用于权值为非负的图的单源最短路径，用斐波那契堆的复杂度O(E+VlgV)
BellmanFord：适用于权值有负值的图的单源最短路径，并且能够检测负圈，复杂度O(VE) SPFA：适用于权值有负值，且没有负圈的图的单源最短路径，论文中的复杂度O(kE)，k为每个节点进入Queue的次数，且k一般<=2，
但此处的复杂度证明是有问题的，其实SPFA的最坏情况应该是O(VE). Floyd：每对节点之间的最短路径。
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下（存在负权边）解决单源点最短路径问题。对于给定的带权（有向或无向）图 G=（V,E），其源点为s，加权函数 w 是边集 E 的映射。对图G运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路，算法将给出从源点s到图G的任意顶点v的最短路径d[v]。
Bellman-Ford算法流程分为三个阶段：
（1）初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;
（2）迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）
（3）检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。
适用条件和范围：
1.单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);
2.有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);
3.边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);
4.差分约束系统;
bool bellman()
{
bool flag ;
for(int i=0;i<n-1;i++)
{
flag=false;
for(int j=0;j<all;j++) //穷举每条边
if(dis[t[j].to]>dis[t[j].from]+t[j].vis) //松弛判断
{
dis[t[j].to]=dis[t[j].from]+t[j].vis; //松弛操作
flag=true;
}
if(!flag)
break;
}
for(int k=0;k<all;k++) //对所有边进行一次遍历，判断是否有负回路
if(dis[t[k].to]>dis[t[k].from]+t[k].vis)
return true;
return false;
} Dijkstra算法
算法流程：
(a) 初始化：用起点v到该顶点w的直接边(弧)初始化最短路径，否则设为∞；
(b) 从未求得最短路径的终点中选择路径长度最小的终点u：即求得v到u的最短路径；
(c) 修改最短路径：计算u的邻接点的最短路径，若(v,…,u)+(u,w)<(v,…,w)，则以(v,…,u,w)代替。
(d) 重复(b)-(c)，直到求得v到其余所有顶点的最短路径。
特点：总是按照从小到大的顺序求得最短路径。
假设一共有N个节点，出发结点为s，需要一个一维数组vis[N]来记录前一个节点序号，一个一维数组dis[N]来记录从原点到当前节点最短路径（初始值为s到Vi的边的权值，没有则为+∞），一个二维数组map[N][N]来记录各点之间边的权重，按以上流程更新map[N]和dis[N]。
void dijs(int v)//v为原点
{
int i,j,k;
for(i=1;i<=n;i++)
dis[i]=map[v][i];//初始化
memset(vis,0,sizeof(vis));
vis[v]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
{
int min=INF;
k=v;
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(!vis[j]&&min>dis[j])
{
k=j;
min=dis[j];//在dis中找出最小值
}
}
vis[k]=1;//使k为已生成终点
for(j=1;j<=n;j++)//修改dis
{
if(dis[j]>dis[k]+map[k][j])
dis[j]=dis[k]+map[k][j];
}
}
} SPFA算法
求最短路径的算法有许多种，除了排序外，恐怕是OI界中解决同一类问题算法最多的了。最熟悉的无疑是Dijkstra，接着是Bellman-Ford，它们都可以求出由一个源点向其他各点的最短路径；如果我们想要求出每一对顶点之间的最短路径的话，还可以用Floyd-Warshall。
SPFA是这篇日志要写的一种算法，它的性能非常好，代码实现也并不复杂。特别是当图的规模大，用邻接矩阵存不下的时候，用SPFA则可以很方便地面对临接表。每个人都写过广搜，SPFA的实现和广搜非常相似。
如何求得最短路径的长度值？
首先说明，SPFA是一种单源最短路径算法，所以以下所说的“某点的最短路径长度”，指的是“某点到源点的最短路径长度”。
我们记源点为S，由源点到达点i的“当前最短路径”为D[i]，开始时将所有D[i]初始化为无穷大，D[S]则初始化为0。算法所要做的，就是在运行过程中，不断尝试减小D[]数组的元素，最终将其中每一个元素减小到实际的最短路径。
过程中，我们要维护一个队列，开始时将源点置于队首，然后反复进行这样的操作，直到队列为空：
(1)从队首取出一个结点u，扫描所有由u结点可以一步到达的结点，具体的扫描过程，随存储方式的不同而不同；
(2)一旦发现有这样一个结点，记为v，满足D[v] > D[u] + w(u, v)，则将D[v]的值减小，减小到和D[u] + w(u, v)相等。其中，w(u, v)为图中的边u-v的长度，由于u-v必相邻，所以这个长度一定已知（不然我们得到的也不叫一个完整的图）；这种操作叫做松弛。
之
松弛操作的原理是著名的定理：“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对i,j进行松弛，就是判定是否d[j]>d[i]+w[i,j]，如果该式成立则将d[j]减小到d[i]+w[i,j]，否则不动。
(3)上一步中，我们认为我们“改进了”结点v的最短路径，结点v的当前路径长度D[v]相比于以前减小了一些，于是，与v相连的一些结点的路径长度可能会相应地减小。注意，是可能，而不是一定。但即使如此，我们仍然要将v加入到队列中等待处理，以保证这些结点的路径值在算法结束时被降至最优。当然，如果连接至v的边较多，算法运行中，结点v的路径长度可能会多次被改进，如果我们因此而将v加入队列多次，后续的工作无疑是冗余的。这样，就需要我们维护一个bool数组Inqueue[]，来记录每一个结点是否已经在队列中。我们仅将尚未加入队列的点加入队列。
void spfa()
{
int i,k;
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(i=1;i<=n;i++)
dis[i]=INF;//初始化
dis[1]=0;
queue<int>q;//创建队列
vis[1]=1;
q.push(1);//源点放入队尾
while(!q.empty())
{
k=q.front();//从队首取出一个节点，扫描所有从该节点可以到达的终点
q.pop();
vis[k]=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(dis[i]>dis[k]+map[k][i])//松弛判断
{
dis[i]=dis[k]+map[k][i];//松弛操作
if(vis[i]==0)//判断这个点是否在队列里面，如果不在加入队列
{
q.push(i);
vis[i]=1;
}
}
}
}
}
Floyd算法
这里需要用到动态规划的思想，对于任何一个城市而言，i 到 j 的最短距离不外乎存在经过 i 与 j 之间的k和不经过k两种可能，所以可以令k=1，2，3，…，n(n是城市的数目)，再检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的 i 到 k 与 k 到 j 的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是 i 到 j 经过k的最短距离。所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示从 i 出发经过 k 再到j的距离要比原来的 i 到 j 距离短，自然把i到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj)<这里就是动态规划中的决策>，每当一个k查完了，d(ij)就是目前的 i 到 j 的最短距离。重复这一过程，最后当查完所有的k时，d(ij)里面存放的就是 i 到 j 之间的最短距离了<这就是动态规划中的记忆化搜索>。利用一个三重循环产生一个存储每个结点最短距离的矩阵.
用三个for循环把问题解决了，但是有一个问题需要注意，那就是for循环的嵌套的顺序：我们可能随手就会写出这样的枚举程序，但是仔细考虑的话，会发现是有问题的：
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
for k:=1 to n do
if…..
问题出在我们太早的把i-k-j的距离确定下来了，假设一旦找到了i-p-j最短的距离后，i到j就相当处理完了，以后不会在改变了，一旦以后有使i到j的更短的距离时也不能再去更新了，所以结果一定是不对的。所以应当象下面一样来写程序：
for k:=1 to n do
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if …..
这样作的意义在于固定了k，把所有i到j而经过k的距离找出来，然后象开头所提到的那样进行比较和重写，因为k是在最外层的，所以会把所有的i到j都处理完后，才会移动到下一个K。
for(i=0;i<=m;i++)
for(j=0;j<=n;j++)
map[i][j]=INF;//初始化
for(k=1;k<=n;k++)//动态规划的思想
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(i==j)
continue;
if(map[i][j]>map[i][k]+map[k][j])
map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];
} 