Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。
初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。
例如，对下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下表中。
Dijkstra算法的迭代过程：
主题好好理解上图！
以下是具体的实现(C/C++):
/*
**************************************
* About: 有向图的Dijkstra算法实现
* Author: Tanky Woo
* Blog: www.WuTianQi.com
**************************************
*/
#include
<
iostream
>
using
namespace
std;
const
int
maxnum
=
100
;
const
int
maxint
=
999999
;
void
Dijkstra(
int
n,
int
v,
int
*
dist,
int
*
prev,
int
c[maxnum][maxnum])
{
bool
s[maxnum];
//
判断是否已存入该点到S集合中
for
(
int
i
=
1
; i
<=
n;
++
i)
{
dist[i]
=
c[v][i];
s[i]
=
0
;
//
初始都未用过该点
if
(dist[i]
==
maxint)
prev[i]
=
0
;
else
prev[i]
=
v;
}
dist[v]
=
0
;
s[v]
=
1
;
//
依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中
//
一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度
for
(
int
i
=
2
; i
<=
n;
++
i)
{
int
tmp
=
maxint;
int
u
=
v;
//
找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
for
(
int
j
=
1
; j
<=
n;
++
j)
if
((
!
s[j])
&&
dist[j]
<
tmp)
{
u
=
j;
//
u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
tmp
=
dist[j];
}
s[u]
=
1
;
//
表示u点已存入S集合中
//
更新dist
for
(
int
j
=
1
; j
<=
n;
++
j)
if
((
!
s[j])
&&
c[u][j]
<
maxint)
{
int
newdist
=
dist[u]
+
c[u][j];
if
(newdist
<
dist[j])
{
dist[j]
=
newdist;
prev[j]
=
u;
}
}
}
}
void
searchPath(
int
*
prev,
int
v,
int
u)
{
int
que[maxnum];
int
tot
=
1
;
que[tot]
=
u;
tot
++
;
int
tmp
=
prev[u];
while
(tmp
!=
v)
{
que[tot]
=
tmp;
tot
++
;
tmp
=
prev[tmp];
}
que[tot]
=
v;
for
(
int
i
=
tot; i
>=
1
;
—
i)
if
(i
!=
1
)
cout
<<
que[i]
<<
“
->
“
;
else
cout
<<
que[i]
<<
endl;
}
int
main()
{
freopen(
“
input.txt
“
,
“
r
“
, stdin);
//
各数组都从下标1开始
int
dist[maxnum];
//
表示当前点到源点的最短路径长度
int
prev[maxnum];
//
记录当前点的前一个结点
int
c[maxnum][maxnum];
//
记录图的两点间路径长度
int
n, line;
//
图的结点数和路径数
//
输入结点数
cin
>>
n;
//
输入路径数
cin
>>
line;
int
p, q, len;
//
输入p, q两点及其路径长度
//
初始化c[][]为maxint
for
(
int
i
=
1
; i
<=
n;
++
i)
for
(
int
j
=
1
; j
<=
n;
++
j)
c[i][j]
=
maxint;
for
(
int
i
=
1
; i
<=
line;
++
i)
{
cin
>>
p
>>
q
>>
len;
if
(len
<
c[p][q])
//
有重边
{
c[p][q]
=
len;
//
p指向q
c[q][p]
=
len;
//
q指向p，这样表示无向图
}
}
for
(
int
i
=
1
; i
<=
n;
++
i)
dist[i]
=
maxint;
for
(
int
i
=
1
; i
<=
n;
++
i)
{
for
(
int
j
=
1
; j
<=
n;
++
j)
printf(
“
%8d
“
, c[i][j]);
printf(
“
/n
“
);
}
Dijkstra(n,
1
, dist, prev, c);
//
最短路径长度
cout
<<
“
源点到最后一个顶点的最短路径长度:
“
<<
dist[n]
<<
endl;
//
路径
cout
<<
“
源点到最后一个顶点的路径为:
“
;
searchPath(prev,
1
, n);
}
输入数据:
5
7
1 2 10
1 4 30
1 5 100
2 3 50
3 5 10
4 3 20
4 5 60
输出数据:
999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
最后给出两道题目练手，都是直接套用模版就OK的：
1.HDOJ 1874 畅通工程续
http://www.wutianqi.com/?p=1894
2.HDOJ 2544 最短路
http://www.wutianqi.com/?p=1892
原文链接：http://www.cnblogs.com/tanky_woo/archive/2011/01/19/1939041.html
