树形DP

• 给出一棵n个节点的树，每个节点上有点权a_i，求最长的树上路径，满足条件：路径上经过节点（包括两个端点）点权的gcd和不等于1。
• n <=2e5，1<=a_i<=2e5
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• 不互素就ok，不用考虑具体的gcd值，还不用考虑重复计算。
• 对于每个节点u，维护f_{u,v}表示u往下挂出的点权都能被v整除的最长链。
• v只取整除a_u的质数，个数很少，很容易转移。
• 边转移边更新全局答案。
• Solution

• 给出一棵n个节点的树，对于1~n间的每一个数k，你需要求出：最多能选出多少条互不相交的路径，每条路径的长度都为k。
• n <= 1e5
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• 考虑对于一个给定的k，使用dp计算答案。
• 贪心：在一个子树当中，尽可能最大化完整的路径条数；其次最大化未完成的链的长度。
• 进行合并时，先尝试儿子的dp值中第二维最大值与次大值能否拼成一条完整的链（长度和>=k），若不行再选取一条最长的链向上延伸。时间复杂度O(n)。
• 令f_k表示单次对于给定的k的答案。
• 显然有：f_k <= n / k
• f最多有O(sqrt(n))种取值，证明：当k>sqrt(n)时，取值范围为[1,sqrt(n)]，当k<sqrt(n)时，最多有sqrt(n)种取值。
• f 显然单调，在每个边界上二分即可。
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• 自闭了，这不就是NOIP2018D1T3，我竟然连贪心都不会
• Solution

• 给出一棵n个节点的树T，对于其中任意一个非空节点集合X，定义f(X)为包含这些点的最小连通子树的边数。给出一个正整数k，求：

                          S为第二类斯特林数，考虑其组合意义不难得到该转化

                                                 对进行DP即可

• 令dp_{i,j}表示以点i为根的所有生成树当中标记了j条边的方案数，由于点集大小之类的不影响答案，所以不同的点集对应的生成树可以一并考虑，对于每一棵生成树，我们都在它最高的节点处累计进答案。
• Solution