Largest Rectangle in Histogram

Given n non-negative integers representing the histogram’s bar height where the width of each bar is 1, find the area of largest rectangle in the histogram.

Above is a histogram where width of each bar is 1, given height = [2,1,5,6,2,3].

The largest rectangle is shown in the shaded area, which has area = 10 unit.

暴力法

复杂度

时间 O(N^2) 空间 O(1)

思路

最直观的方法是对每个竖条，都向前向后计算下最大的面积，这样虽然时间复杂度很高，但是不用额外空间。

栈法

复杂度

时间 O(N) 空间 O(N)

思路

遍历数组（直方图），如果后一个竖条高于或等于前一个竖条，则将其下标push进栈，如果后一个竖条（假设它的下标为i）较矮，说明可以开始计算前一个竖条(i-1)及之前那块上升区域最大的长方形面积了，这时将栈顶的竖条的下标pop出来，计算该竖条的面积。然后再看pop过后栈顶竖条(i-2)和后一个竖条(i)的大小关系，如果栈顶竖条(i-2)较矮，说明又构成了一个连续上升区域，则将后一个竖条(i)push进栈，否则继续计算栈顶竖条(i-2)的面积，这里要注意，因为(i-2)竖条比(i-1)竖条要靠左，所以i-2竖条能构成的最大长方形的宽度可以达到2，宽度的计算方法是用后一个竖条的下标i，减去再pop一个元素后栈顶竖条的下标(i-3)，再加上1。以此类推，如果一直pop到栈为空时，说明刚pop出来的竖条之前的所有竖条都比它自己高，不然不可能栈为空，那我们以左边全部的宽度作为长方形的宽度。这里计算宽度时，要减去上一个竖条的位置，而不是减去当前竖条的位置，因为有可能上一个竖条和当前竖条之间已经有些竖条被pop掉了，但他们肯定是高于当前竖条的，所以可以计算到宽度中。

代码

public class Solution {
    public int largestRectangleArea(int[] height) {
        if(height.length == 0) return 0;
        Stack<Integer> stk = new Stack<Integer>();
        int i = 1, max = height[0];
        stk.push(0);
        while(i < height.length || (i == height.length && !stk.isEmpty())){
            // i==height.length 说明目前栈顶已经是最后一个竖条，那就要开始pop了
            if(i != height.length && ( stk.isEmpty() || height[i] >= height[stk.peek()] )){
                stk.push(i);
                i++;
            } else {
                // pop后栈为空的话说明之前所有竖条都比刚pop出来的矮
                int top = height[stk.pop()];
                int currMax = !stk.isEmpty() ? top * (i - stk.peek() - 1) : top * i;
                max = Math.max(currMax, max);
            }
        }
        return max;
    }
}

Maximal Rectangle

Given a 2D binary matrix filled with 0’s and 1’s, find the largest rectangle containing all ones and return its area.

动态规划 + 栈

复杂度

时间 O(NM) 空间 O(M)

思路

这题的解法基于上题。要求最大的矩形，实际上可以将矩阵的每一行，转化为上一题的直方图，而直方图的每个竖条的数字，就是该行对应坐标正上方，向上方向有多少个连续的1。要转化为直方图，方法是每一行的数值都累加上一行计算出来的数值，而第一行的数值就是本身。如果原始矩阵中遇到0，则累加中断，重新置0。

0 0 1 1 0 -> 0 0 1 1 0
0 0 1 1 0 -> 0 0 2 2 0
1 1 0 0 0 -> 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 -> 2 2 1 0 0

代码

public class Solution {
    public int maximalRectangle(char[][] matrix) {
        int max = 0;
        if(matrix.length == 0) return 0;
        int[][] dp = new int[matrix.length][matrix[0].length];
        for(int i = 0; i < matrix.length; i++){
            for(int j = 0; j < matrix[0].length; j++){
                // 如果是第一行就是自身，如果遇到0则停止累加
                dp[i][j] =  i == 0 ? matrix[i][j] - '0' : matrix[i][j] == '1' ? dp[i-1][j] + matrix[i][j] - '0' : 0;
            }
        }
        for(int i = 0; i < dp.length; i++){
            //找每行的最大矩形
            int tmp = findRowMax(i, dp);
            max = Math.max(max, tmp);
        }
        return max;
    }
    
    private int findRowMax(int row, int[][] matrix){
        if(matrix[row].length== 0) return 0;
        Stack<Integer> stk = new Stack<Integer>();
        int i = 1, max = matrix[row][0];
        stk.push(0);
        while(i < matrix[row].length || (i == matrix[row].length && !stk.isEmpty())){
            if(i != matrix[row].length && ( stk.isEmpty() || matrix[row][i] >= matrix[row][stk.peek()] )){
                stk.push(i);
                i++;
            } else {
                int top = matrix[row][stk.pop()];
                int currMax = !stk.isEmpty() ? top * (i - stk.peek() - 1) : top * i;
                max = Math.max(currMax, max);
            }
        }
        return max;
    }
}