考研复试系列——第八节 拓扑排序

前言

拓扑排序最适于解决判断一个有向图是不是有向无环图的问题。在考研机试中也是经常出现的，但是题目又各不相同，只要抓住问题的根本， 即拓扑排序判断有向无环图的本质就可以以不变应万变。本节依然和前面依然，侧重于说明算法的编程实现。

拓扑排序——Kahn

看了网上其他的资料大多是以图的变化讲解拓扑排序，并没有说明算法实现的过程，所以下面以表格的形式来说明算法的过程以及如何把表格的 转换过程实现为具体的算法。

给出这样一个图，我们知道它的拓扑排序序列是1 2 3 4 或者 1 3 2 4 。但是在算法实现中具体该如何实现这个过程呢？ 我们先使用自然语言藐视整个过程。首先建立这样一个表格：

开始时节点的入度初始化为0，后继节点也是空。 现在假设输入一条边 1—>2  （边的先后输入顺序不影响的），OK 开始更新这个表格，输入边是1到2，所以2的入度加1，1的后继节点加入节点2，此时表格如下：  

然后依次其他的边，最终表格如下：

然后我们就开始基于这个表格进行处理。然后我们扫描一遍入度，如果入度为0，说明对应节点没有前驱，那就把它加入到一个队列中（其实用栈什么的都可以）：

OK，接下来取队列中的队头元素，也就是节点1 ，并将其出队列，然后查表它的后继节点是2和3 ，于是将2和3的入度都减去1 ，并判断节点2和3的入度是否是0，若是0则加入队列（显然因为节点2和3的入度发生了改变，所以我们只需要判断节点2和3的入度就可以了）此时表格以及队列为：

然后采取和前面一样的策略，从队列中弹出队头元素即节点2 ，查表其后继为节点4，将节点4的入度减去1，判断是否为0，不为0不做操作，继续从队列中取出 节点3，查表其后继为节点4，将节点4的入度减去1，判断是否为0，这是4的入度为0了，于是将节点4加入队列。 然后从队列中取队头元素即节点4，查表没有后继了，然后发现队列是为空了，于是算法结束。

下面我们来编程实现：思考一下，入度我们可以使用一个数组来记录，后继节点我们可以使用链表，为了方便我们使用vector数组来替代链表。队列直接使用 STL中的queue就好了。

#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<string>
using namespace std;

vector<int> next[101];//保存某节点的后继
queue<int> Q;//队列
int inNode[101];//记录节点的入度

int main()
{
	int n,m;//n个顶点，m条边
	while(cin>>n>>m && n && m)
	{
		int i;
		for(i=1;i<=n;i++)//下标从1开始
		{
			inNode[i] = 0;//初始化
			next[i].clear();//清空
		}
		while(!Q.empty())//清空
			Q.pop();
		for(i=1;i<=m;i++)//输入边信息
		{
			int a,b;
			cin>>a>>b;
			inNode[b]++;
			next[a].push_back(b);
		}
		int cnt = 0;//用于累加已经确定拓扑序列的结点个数
		for(i=1;i<=n;i++)//将入度为0的节点加入队列
		{
			if(inNode[i] == 0)
				Q.push(i);
		}
		while(!Q.empty())//队列非空则重复执行
		{
			//取队头节点并弹出
			int now = Q.front();
			Q.pop();
			cnt++;//确定一个节点总数加1
			for(i=0;i<next[now].size();i++)//遍历处理后继
			{
				inNode[next[now][i]]--;//入度减1
				if(inNode[next[now][i]] == 0)//若节点入度变为0
				{
					Q.push(next[now][i]);//将其加入队列
				}
			}

		}
		if(cnt == n)
			cout<<"这是一个有向无环图!"<<endl;
		else
			cout<<"这不是一个有向无环图!"<<endl;
	}
	return 0;
}