一、图的存储结构
1.1 邻接矩阵
图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。
设图G有n个顶点，则邻接矩阵是一个n*n的方阵，定义为：
看一个实例，下图左就是一个无向图。
从上面可以看出，无向图的边数组是一个对称矩阵。所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足aij = aji。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元和左下角相对应的元全都是相等的。
从这个矩阵中，很容易知道图中的信息。
（1）要判断任意两顶点是否有边无边就很容易了；
（2）要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行或（第i列）的元素之和；
（3）求顶点vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[i][j]为1就是邻接点；
而有向图讲究入度和出度，顶点vi的入度为1，正好是第i列各数之和。顶点vi的出度为2，即第i行的各数之和。
若图G是网图，有n个顶点，则邻接矩阵是一个n*n的方阵，定义为：
这里的wij表示(vi,vj)上的权值。无穷大表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的值，也就是一个不可能的极限值。下面左图就是一个有向网图，右图就是它的邻接矩阵。
那么邻接矩阵是如何实现图的创建的呢？代码如下。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 | #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <curses.h> typedef char VertexType; //顶点类型应由用户定义 typedef int EdgeType; //边上的权值类型应由用户定义 #define MAXVEX 100 //最大顶点数，应由用户定义 #define INFINITY 65535 //用65535来代表无穷大 #define DEBUG typedef struct { VertexType vexs[MAXVEX]; //顶点表 EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX]; //邻接矩阵，可看作边 int numVertexes, numEdges; //图中当前的顶点数和边数 }Graph; //定位 int locates(Graph *g, char ch) { int i = 0; for (i = 0; i < g->numVertexes; i++) { if (g->vexs[i] == ch) { break ; } } if (i >= g->numVertexes) { return -1; } return i; } //建立一个无向网图的邻接矩阵表示 void CreateGraph(Graph *g) { int i, j, k, w; printf ( "输入顶点数和边数:\n" ); scanf ( "%d,%d" , &(g->numVertexes), &(g->numEdges)); #ifdef DEBUG printf ( "%d %d\n" , g->numVertexes, g->numEdges); #endif for (i = 0; i < g->numVertexes; i++) { g->vexs[i] = getchar (); while (g->vexs[i] == '\n' ) { g->vexs[i] = getchar (); } } #ifdef DEBUG for (i = 0; i < g->numVertexes; i++) { printf ( "%c " , g->vexs[i]); } printf ( "\n" ); #endif for (i = 0; i < g->numEdges; i++) { for (j = 0; j < g->numEdges; j++) { g->arc[i][j] = INFINITY; //邻接矩阵初始化 } } for (k = 0; k < g->numEdges; k++) { char p, q; printf ( "输入边(vi,vj)上的下标i，下标j和权值:\n" ); p = getchar (); while (p == '\n' ) { p = getchar (); } q = getchar (); while (q == '\n' ) { q = getchar (); } scanf ( "%d" , &w); int m = -1; int n = -1; m = locates(g, p); n = locates(g, q); if (n == -1 || m == -1) { fprintf (stderr, "there is no this vertex.\n" ); return ; } //getchar(); g->arc[m][n] = w; g->arc[n][m] = g->arc[m][n]; //因为是无向图，矩阵对称 } } //打印图 void printGraph(Graph g) { int i, j; for (i = 0; i < g.numVertexes; i++) { for (j = 0; j < g.numVertexes; j++) { printf ( "%d " , g.arc[i][j]); } printf ( "\n" ); } } int main( int argc, char **argv) { Graph g; //邻接矩阵创建图 CreateGraph(&g); printGraph(g); return 0; } |
从代码中可以得到，n个顶点和e条边的无向网图的创建，时间复杂度为O(n + n
2
+ e)，其中对邻接矩阵Grc的初始化耗费了O(n2)的时间。
1.2 邻接表
邻接矩阵是不错的一种图存储结构，但是，对于边数相对顶点较少的图，这种结构存在对存储空间的极大浪费。因此，找到一种数组与链表相结合的存储方法称为邻接表。
邻接表的处理方法是这样的：
（1）图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过，数组可以较容易的读取顶点的信息，更加方便。
（2）图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以，用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表，有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表。
例如，下图就是一个无向图的邻接表的结构。
从图中可以看出，顶点表的各个结点由data和firstedge两个域表示，data是数据域，存储顶点的信息，firstedge是指针域，指向边表的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点。边表结点由adjvex和next两个域组成。adjvex是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标，next则存储指向边表中下一个结点的指针。
对于带权值的网图，可以在边表结点定义中再增加一个weight的数据域，存储权值信息即可。如下图所示。
对于邻接表结构，图的建立代码如下。
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对于无向图，一条边对应都是两个顶点，所以，在循环中，一次就针对i和j分布进行插入。
本算法的时间复杂度，对于n个顶点e条边来说，很容易得出是O(n+e)。
1.3 十字链表
对于有向图来说，邻接表是有缺陷的。关心了出度问题，想了解入度就必须要遍历整个图才知道，反之，逆邻接表解决了入度却不了解出度情况。下面介绍的这种有向图的存储方法：十字链表，就是把邻接表和逆邻接表结合起来的。
重新定义顶点表结点结构，如下所示。
其中firstin表示入边表头指针，指向该顶点的入边表中第一个结点，firstout表示出边表头指针，指向该顶点的出边表中的第一个结点。
重新定义边表结构，如下所示。
其中，tailvex是指弧起点在顶点表的下表，headvex是指弧终点在顶点表的下标，headlink是指入边表指针域，指向终点相同的下一条边，taillink是指边表指针域，指向起点相同的下一条边。如果是网，还可以增加一个weight域来存储权值。
比如下图，顶点依然是存入一个一维数组，实线箭头指针的图示完全与邻接表相同。就以顶点v0来说，firstout指向的是出边表中的第一个结点v3。所以，v0边表结点hearvex = 3，而tailvex其实就是当前顶点v0的下标0，由于v0只有一个出边顶点，所有headlink和taillink都是空的。
重点需要解释虚线箭头的含义。它其实就是此图的逆邻接表的表示。对于v0来说，它有两个顶点v1和v2的入边。因此的firstin指向顶点v1的边表结点中headvex为0的结点，如上图圆圈1。接着由入边结点的headlink指向下一个入边顶点v2，如上图圆圈2。对于顶点v1，它有一个入边顶点v2，所以它的firstin指向顶点v2的边表结点中headvex为1的结点，如上图圆圈3。
十字链表的好处就是因为把邻接表和逆邻接表整合在一起，这样既容易找到以v为尾的弧，也容易找到以v为头的弧，因而比较容易求得顶点的出度和入度。
而且除了结构复杂一点外，其实创建图算法的时间复杂度是和邻接表相同的，因此，在有向图应用中，十字链表是非常好的数据结构模型。
这里就介绍以上三种存储结构，除了第三种存储结构外，其他的两种存储结构比较简单。
二、图的遍历
图的遍历和树的遍历类似，希望从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程就叫图的遍历。
对于图的遍历来说，如何避免因回路陷入死循环，就需要科学地设计遍历方案，通过有两种遍历次序方案：深度优先遍历和广度优先遍历。
2.1 深度优先遍历
深度优先遍历，也有称为深度优先搜索，简称DFS。其实，就像是一棵树的前序遍历。
它从图中某个结点v出发，访问此顶点，然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。若图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中的所有顶点都被访问到为止。
我们用邻接矩阵的方式，则代码如下所示。
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如果使用的是邻接表存储结构，其DFSTraverse函数的代码几乎是相同的，只是在递归函数中因为将数组换成了链表而有不同，代码如下。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 | //邻接表的深度递归算法 void DFS(GraphList g, int i) { EdgeNode *p; visited[i] = TRUE; printf ( "%c " , g->adjList[i].data); //打印顶点，也可以其他操作 p = g->adjList[i].firstedge; while (p) { if (!visited[p->adjvex]) { DFS(g, p->adjvex); //对访问的邻接顶点递归调用 } p = p->next; } } //邻接表的深度遍历操作 void DFSTraverse(GraphList g) { int i; for (i = 0; i < g.numVertexes; i++) { visited[i] = FALSE; } for (i = 0; i < g.numVertexes; i++) { if (!visited[i]) { DFS(g, i); } } } |
对比两个不同的存储结构的深度优先遍历算法，对于n个顶点e条边的图来说，邻接矩阵由于是二维数组，要查找某个顶点的邻接点需要访问矩阵中的所有元素，因为需要O(n
2
)的时间。而邻接表做存储结构时，找邻接点所需的时间取决于顶点和边的数量，所以是O(n+e)。显然对于点多边少的稀疏图来说，邻接表结构使得算法在时间效率上大大提高。
2.2 广度优先遍历
广度优先遍历，又称为广度优先搜索，简称BFS。图的广度优先遍历就类似于树的层序遍历了。
邻接矩阵做存储结构时，广度优先搜索的代码如下。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 | //邻接矩阵的广度遍历算法 void BFSTraverse(Graph g) { int i, j; Queue q; for (i = 0; i < g.numVertexes; i++) { visited[i] = FALSE; } InitQueue(&q); for (i = 0; i < g.numVertexes; i++) //对每个顶点做循环 { if (!visited[i]) //若是未访问过 { visited[i] = TRUE; printf ( "%c " , g.vexs[i]); //打印结点，也可以其他操作 EnQueue(&q, i); //将此结点入队列 while (!QueueEmpty(q)) //将队中元素出队列，赋值给 { int m; DeQueue(&q, &m); for (j = 0; j < g.numVertexes; j++) { //判断其他顶点若与当前顶点存在边且未访问过 if (g.arc[m][j] == 1 && !visited[j]) { visited[j] = TRUE; printf ( "%c " , g.vexs[j]); EnQueue(&q, j); } } } } } } <span style= "line-height:2;font-family:'sans serif', tahoma, verdana, helvetica;" > </span> |
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对于邻接表的广度优先遍历，代码与邻接矩阵差异不大， 代码如下
。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 | //邻接表的广度遍历算法 void BFSTraverse(GraphList g) { int i; EdgeNode *p; Queue q; for (i = 0; i < g.numVertexes; i++) { visited[i] = FALSE; } InitQueue(&q); for (i = 0; i < g.numVertexes; i++) { if (!visited[i]) { visited[i] = TRUE; printf ( "%c " , g.adjList[i].data); //打印顶点，也可以其他操作 EnQueue(&q, i); while (!QueueEmpty(q)) { int m; DeQueue(&q, &m); p = g.adjList[m].firstedge; 找到当前顶点边表链表头指针 while (p) { if (!visited[p->adjvex]) { visited[p->adjvex] = TRUE; printf ( "%c " , g.adjList[p->adjvex].data); EnQueue(&q, p->adjvex); } p = p->next; } } } } }<span style= "font-family:'sans serif', tahoma, verdana, helvetica;line-height:1.5;" > </span> |
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对比图的深度优先遍历与广度优先遍历算法，会发现，它们在时间复杂度上是一样的，不同之处仅仅在于对顶点的访问顺序不同。可见两者在全图遍历上是没有优劣之分的，只是不同的情况选择不同的算法。
参考：《大话数据结构》
梦醒潇湘love
2013-01-29 15:30
