邻接矩阵介绍
直接说，邻接矩阵是图的一种存储结构。那么图是什么呢？图是一种逻辑结构，和线性结构、树形结构、集合结构一样 是一种逻辑结构用来描述数据对象中的数据元素之间的关系。来看下图的定义：图（Graph）是有顶点的有穷非空集和顶点之间边的集合组成，通常表示为G（V，E）其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。
考虑到图是有顶点和边或弧2部分组成。合在一起比较困难，那就自然的考虑到分为2个结构来分别存储。
图的邻接矩阵（Adjacency Matrix）存储方式是用2个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点的信息，一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。
邻接矩阵创建图
任何算法，我们最先考虑的肯定是数据结构，那么用邻接矩阵的方式，图的数据结构就很好表示了。包含顶点数组，邻接矩阵，当然还有顶点数量和边的数量。数据结构是为算法进行服务的。图的数据结构：
typedef struct
{
VertexType vertex[MAX_VERTEX];//顶点集
EdgeType edge[MAX_VERTEX][MAX_VERTEX];//边集
int vertexNum, edgeNum;//顶点数，边数
}MGraph;
对图的数据结构清楚后，创建图的算法，其实就是图内容的一个赋值。
CreateMGraph 函数
//邻接矩阵创建无向网图
MGraph* CreateMGraph()
{
MGraph* mGraph = (MGraph*)malloc(sizeof(MGraph));
int vertexNum, edgeNum;
printf("请输入顶点数和边数(请用逗号隔开):");
scanf("%d,%d", &vertexNum, &edgeNum);
mGraph->vertexNum = vertexNum;
mGraph->edgeNum = edgeNum;
getchar();//去除上次输入的换行
printf("请输入顶点值:");
//输入顶点值
for (int i = 0; i < vertexNum; i++)
{
scanf("%c", &mGraph->vertex[i]);
}
//初始化 边集
for (int i = 0; i < vertexNum; i++)
{
for (int j = 0; j < vertexNum; j++)
{
mGraph->edge[i][j] = INFINITY;
}
}
//输入边值
for (int i = 0; i < edgeNum; i++)
{
int i, j, w;
printf("请输入(Vi,Vj)对应的顶点的下标和权值(用逗号隔开):");
scanf("%d,%d,%d", &i, &j, &w);
mGraph->edge[i][j] = mGraph->edge[j][i] = w;//无向图为对称矩阵
}
return mGraph;
}邻接矩阵的深度优先遍历
先说下图的遍历：从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每个顶点仅被访问一次，这一过程就叫做图的遍历（Traversing Graph）。那么何为深度优先遍历呢？深度优先遍历（Depth First Search），也有称为深度优先搜索，简称DFS。想一想 因为在图中有很多条道路，怎么访问一个地方后不再访问访问过的顶点呢？其实有2种方案，就对应我们的2种遍历方式。一种方案：图中每个顶点 相连着有很多顶点，我们可以从某个结点v出发，访问此结点，然后访问v的未访问过的邻阶点，然后继续访问该结点 的未访问过的邻接点，有点类似顺藤摸瓜的意思，一直深入，直到图中所有的顶点都被访问到为止。是不是感觉可以用递归呢？肯定要用一个全局数组来记录顶点是否访问过呗，访问过下次就不访问了呗。下面是邻接矩阵的深度优先遍历：
void DFTMGraph(MGraph* graph,int vexIndex)
{
//访问过 就不再进行访问
if (g_visited[vexIndex] == TRUE)
{
return;
}
g_visited[vexIndex] = TRUE;
//对访问到的结点进行操作
VisitMGraphVertex(graph->vertex[vexIndex]);
for (int j = 0; j < graph->vertexNum; j++)
{
//权值不为零，继续访问下一个结点
if (graph->edge[vexIndex][j] != 0)
{
DFTMGraph(graph, j);
}
}
return;
}
//深度优先遍历
void TraverseMGraph(MGraph* graph)
{
if (NULL == graph)
{
return;
}
//设置结点都没有访问过
for (int i = 0; i < graph->vertexNum; i++)
{
g_visited[i] = FALSE;
}
for (int i = 0; i < graph->vertexNum; i++)
{
if (g_visited[i] == FALSE)
{
DFTMGraph(graph,i);
}
}
return;
}邻接矩阵的广度优先遍历
广度优先遍历（Breath First Search），又称为广度优先搜索，检测BFS。它很类似层序遍历，从图中某结点v出发，将该结点没有访问过的邻接点访问一遍，然后访问已经访问过结点的未访问过的邻结点访问一遍，直到图中的所有结点被访问完。下面是邻接矩阵的广度优先遍历：
//广度优先遍历 邻接矩阵
void BFTMGraph(MGraph* graph)
{
Queue queue;
InitQueue(&queue);
for (int i = 0; i < graph->vertexNum; i++)
{
g_visited[i] = FALSE;
}
for (int i = 0; i < graph->vertexNum; i++)
{
if (g_visited[i] == FALSE)
{
g_visited[i] = TRUE;
VisitMGraphVertex(graph->vertex[i]);
EnQueue(&queue,i);//当前结点下标入队
//为什么这里要循环出队呢？出队获取已经访问过结点的下标，在内层的for继续访问相关联结点，将减少外层for循环进入if次数
while (!EmptyQueue(&queue))
{
int vexIndex;
DeQueue(&queue, &vexIndex);//访问过的结点下标出队
for (int j = 0; j < graph->vertexNum; j++)
{
//将该节点的连接的结点且没有被访问过的结点访问，然后入队
if (graph->edge[vexIndex][j] != 0 && graph->edge[vexIndex][j] != INFINITY && g_visited[j] == FALSE)
{
g_visited[j] = TRUE;
VisitMGraphVertex(graph->vertex[j]);
EnQueue(&queue, graph->vertex[j]);
}
}
}
}
}
return;
}
代码汇总
Queue.h
#pragma once
#ifndef __QUEUE_H__
#define __QUEUE_H__
typedef int EleType;//元素类型
typedef enum { ERROR, OK } Status;
typedef enum {FALSE,TRUE} Boolean;
//队列结点
typedef struct QueueNode
{
EleType data;
struct QueueNode* next;
}QueueNode;
//队列
typedef struct Queue
{
QueueNode* front;
QueueNode* tail;
}Queue;
//队列初始化
void InitQueue(Queue* queue);
//入队
int EnQueue(Queue* queue, EleType data);
//出队
int DeQueue(Queue* queue, EleType* data);
//队列是否为空
int EmptyQueue(Queue* queue);
#endif // !__QUEUE_H__
Queue.c
#include <stdlib.h>
#include "Queue.h"
//队列初始化
void InitQueue(Queue* queue)
{
queue->front = NULL;
queue->tail = NULL;
return;
}
//入队
int EnQueue(Queue* queue, EleType data)
{
if (NULL == queue)
{
return ERROR;
}
QueueNode* node = (QueueNode*)malloc(sizeof(QueueNode));
node->data = data;
node->next = NULL;
if (queue->front == NULL)
{
queue->front = queue->tail = node;
}
else
{
queue->tail->next = node;
queue->tail = node;
}
return OK;
}
//出队
int DeQueue(Queue* queue, EleType* data)
{
if (NULL == queue)
{
return ERROR;
}
if (!EmptyQueue(queue))
{
QueueNode* node = queue->front;
*data = node->data;
queue->front = queue->front->next;
if (NULL != node)
{
free(node);
node = NULL;
}
//队列的最后一个元素出队列后，tail指针也要置为空
if (EmptyQueue(queue))
{
queue->tail = queue->front;
}
}
return OK;
}
//队列是否为空
int EmptyQueue(Queue* queue)
{
if (NULL == queue)
{
return ERROR;
}
if (queue->front == NULL)
{
return TRUE;
}
return FALSE;
}MGraph.c
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include "Queue.h"
#define MAX_VERTEX 100
#define INFINITY 65535
typedef char VertexType;//顶点类型
typedef int EdgeType;//边上权值类型
typedef struct
{
VertexType vertex[MAX_VERTEX];//顶点集
EdgeType edge[MAX_VERTEX][MAX_VERTEX];//边集
int vertexNum, edgeNum;//顶点数，边数
}MGraph;
Boolean g_visited[MAX_VERTEX] = {0};//全局变量 顶点访问标志位数组
//邻接矩阵创建无向网图
MGraph* CreateMGraph()
{
MGraph* mGraph = (MGraph*)malloc(sizeof(MGraph));
int vertexNum, edgeNum;
printf("请输入顶点数和边数(请用逗号隔开):");
scanf("%d,%d", &vertexNum, &edgeNum);
mGraph->vertexNum = vertexNum;
mGraph->edgeNum = edgeNum;
getchar();//去除上次输入的换行
printf("请输入顶点值:");
//输入顶点值
for (int i = 0; i < vertexNum; i++)
{
scanf("%c", &mGraph->vertex[i]);
}
//初始化 边集
for (int i = 0; i < vertexNum; i++)
{
for (int j = 0; j < vertexNum; j++)
{
mGraph->edge[i][j] = INFINITY;
}
}
//输入边值
for (int i = 0; i < edgeNum; i++)
{
int i, j, w;
printf("请输入(Vi,Vj)对应的顶点的下标和权值(用逗号隔开):");
scanf("%d,%d,%d", &i, &j, &w);
mGraph->edge[i][j] = mGraph->edge[j][i] = w;//无向图为对称矩阵
}
return mGraph;
}
//打印邻接矩阵的无向图数据
void PrintMGraph(MGraph* mGraph)
{
printf("顶点数组数据:\n");
for (int i = 0; i < mGraph->vertexNum; i++)
{
printf("%c ", mGraph->vertex[i]);
}
printf("\n边点数组数据:\n");
for (int i = 0; i < mGraph->vertexNum; i++)
{
for (int j = 0; j < mGraph->vertexNum; j++)
{
printf("%d\t", mGraph->edge[i][j]);
}
printf("\n");
}
}
//访问顶点元素
void VisitMGraphVertex(VertexType data)
{
printf("%c ",data);
return;
}
void DFTMGraph(MGraph* graph,int vexIndex)
{
//访问过 就不再进行访问
if (g_visited[vexIndex] == TRUE)
{
return;
}
g_visited[vexIndex] = TRUE;
//对访问到的结点进行操作
VisitMGraphVertex(graph->vertex[vexIndex]);
for (int j = 0; j < graph->vertexNum; j++)
{
//权值不为零，继续访问下一个结点
if (graph->edge[vexIndex][j] != 0)
{
DFTMGraph(graph, j);
}
}
return;
}
//深度优先遍历
void TraverseMGraph(MGraph* graph)
{
if (NULL == graph)
{
return;
}
//设置结点都没有访问过
for (int i = 0; i < graph->vertexNum; i++)
{
g_visited[i] = FALSE;
}
for (int i = 0; i < graph->vertexNum; i++)
{
if (g_visited[i] == FALSE)
{
DFTMGraph(graph,i);
}
}
return;
}
//广度优先遍历 邻接矩阵
void BFTMGraph(MGraph* graph)
{
Queue queue;
InitQueue(&queue);
for (int i = 0; i < graph->vertexNum; i++)
{
g_visited[i] = FALSE;
}
for (int i = 0; i < graph->vertexNum; i++)
{
if (g_visited[i] == FALSE)
{
g_visited[i] = TRUE;
VisitMGraphVertex(graph->vertex[i]);
EnQueue(&queue,i);//当前结点下标入队
//为什么这里要循环出队呢？出队获取已经访问过结点的下标，在内层的for继续访问相关联结点，将减少外层for循环进入if次数
while (!EmptyQueue(&queue))
{
int vexIndex;
DeQueue(&queue, &vexIndex);//访问过的结点下标出队
for (int j = 0; j < graph->vertexNum; j++)
{
//将该节点的连接的结点且没有被访问过的结点访问，然后入队
if (graph->edge[vexIndex][j] != 0 && g_visited[j] == FALSE)
{
g_visited[j] = TRUE;
VisitMGraphVertex(graph->vertex[j]);
EnQueue(&queue, graph->vertex[j]);
}
}
}
}
}
return;
}
int main(int argc, char *argv[])
{
MGraph* mGraph = CreateMGraph();
PrintMGraph(mGraph);
printf("深度优先遍历邻接矩阵:\n");
TraverseMGraph(mGraph);
printf("\n广度优先遍历邻接矩阵:\n");
BFTMGraph(mGraph);
printf("\n");
return 0;
}
代码运行检测
我们来创建如下图 的一个图，图是教材上的。
代码运行结果：
