一、定义
图(graph)是一种比线性表、树更为复杂的数据结构。在线性表中，数据元素之间呈线性关系，即每个元素只有一个直接前驱和一个直接后继。在树型结构中，数据元素之间有明显的的层次关系，即每个结点只有一个直接前驱，但可有多个直接后继，而在图结构中，每个结点即可有多个直接前驱，也可有多个直接后继，因此，树结构是图结构的一种特殊情形。当一个树结构中允许同一结点出现在不同分支上时，该树结构实际上就是一个图结构。图的最早应用可以追溯到十八世纪数学家欧拉（EULer）利用图解决了著名的哥尼斯堡桥的问题，为图在现代科学技术领域的应用奠定了基础。
（1）基本概念
V是顶点的非空有穷集合，在图结构中，不允许没有顶点；
图分为有向图和无向图，无向图的边(A,B)也可以写成(B,A)，有向图的边（也称弧）表示为<A,B>，但不可写成<B,A>，弧有弧头弧尾之分；
不考虑结点的自返圈，即结点到其自身的边，且同一条边不重复出现，这样的图称为简单图，下面要讨论的均为简单图；
有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之称为稠密图（相对而言)；
（2）完全图
在一个有n个顶点的图中，若每个顶点到其他（n-1）个顶点都连有一条边，则图称为完全图。无向完全图边数为n*(n-1)/2，有向完全图边数为n*(n-1)。
（3）邻接点、相关边
对于无向图G＝（V,E），若（V1，V2）∈E，则称V1和V2互为邻接点(adjacent)，即V1和V2相邻接，而边（V1，V2）则是与结点V1和V2“相关联的边”。在有向图G=(V,A)中，若<V1,V2>∈A，则称结点V1邻接到结点V2，结点V2邻接于V1，而边〈V1，V2〉是与结点V1，V2相关联的。
（4）顶点的度、入度、出度
顶点的度（degree）是和V相关联的边的数目，计为TD(V)。在有向图G=(V,A)中，如果弧<V1,V2>∈A，则以V1为头的弧的数目称为V1的入度(indegree)，记为ID(V1)；以V1为尾的弧的数目称为V1的出度(outdegree)，记为OD(V1)；顶点的度为TD(V1)=ID(V1)+OD(V1)。
（5）路径、回路
无向图G＝（V，E）中，从顶点V到顶点V’的路径（Path）是一个顶点序列（V＝Vi0,Vi1,Vi2,……,Vim=V’）,其中（Vij-1,Vij）∈E,1<=j<=m.如果是有向图，则路径也是有向的，顶点序列满足（Vij-1,Vij）∈E,1<=j<=n,路径长度是路径上的边或弧的数目。
第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环（cycle），序列中顶点不重复的称为简单路径。除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复的回路，称为简单回路或简单环。
（6）子图
假设有两个图G＝{V,{E}}和G’＝{V’,{E’}},如果V’包含于V，E’包含于E，则称G’是G的子图。
（7）连通和强连通
在无向图G中，如果从顶点V到顶点V’有路径，则称V和V’是连通的。如果对于图G中任意两个顶点Vi，Vj ∈V都是连通的，则称为G是连通图(connected graph).连通分量指的是无向图中极大连通子图（子图+子图要连通+连通子图含最大顶点数+包含依附于这些顶点的所有边）。
在有向图G中，如果对于每一对Vi，Vj∈V,Vi<>Vj,从Vi到Vj和从Vj到Vi都存在路径，则称G是强连通图。有向图中极大强连通子图称作为有向图G的强连通分量。
（8）生成树、有向树
一个连通图的生成树，它含有图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。如果边多于n条会形成环，少于n-1个顶点无法构成连通图；
如果一个有向图恰有一个顶点入度为0，其余顶点入度均为1（只有一个根顶点，其余顶点双亲只有一个），则是一棵有向树；
（9）权、网
在图的边或弧上，有时标有与它们相关的数，这种与图的边或弧相关的数称作权（Weight）。这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或代价。这种带权的图常称作网（network）。
二、图的存储结构
如果采用类似二叉树结构的多重链表形式实现图将会带来许多问题，如果统一按照最大度的顶点来设计会造成很多浪费，毕竟各个顶点的度之间相差很大。于是引入下列几种常见的表示方法：
（1）邻接矩阵
图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。设图G有n个顶点，则邻接矩阵是一个n*n的方阵，定义为：
看一个实例，下图左就是一个无向图。
从上面可以看出，无向图的边数组是一个对称矩阵。所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足aij = aji。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元和左下角相对应的元全都是相等的。
从这个矩阵中，很容易知道图中的信息。
（1）要判断任意两顶点是否有边无边就很容易了；
（2）要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行或（第i列）的元素之和；
（3）求顶点vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[i][j]为1就是邻接点；
而有向图讲究入度和出度，顶点vi的入度为1，正好是第i列各数之和。顶点vi的出度为2，即第i行的各数之和。若图G是网图，有n个顶点，则邻接矩阵是一个n*n的方阵，定义为：
这里的wij表示(vi,vj)上的权值。无穷大表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的值，也就是一个不可能的极限值。为什么不用0呢？因为权值在个别情况下有可能是0，甚至可能是负值；下面左图就是一个有向网图，右图就是它的邻接矩阵。
那么邻接矩阵是如何实现图的创建的呢？代码如下。
typedef char VertexType; //顶点类型应由用户定义
typedef int EdgeType; //边上的权值类型应由用户定义
#define MAXVEX 100 //最大顶点数，应由用户定义
#define INFINITY 65535 //用65535来代表无穷大
#define DEBUG
typedef struct
{
VertexType vexs[MAXVEX]; //顶点表
EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX]; //邻接矩阵，可看作边
int numVertexes, numEdges; //图中当前的顶点数和边数
}Graph;
//定位函数
int locates(Graph *g, char ch)
{
int i = 0;
for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
{
if(g->vexs[i] == ch)
break;
}
if(i >= g->numVertexes)
return -1;
return i;
}
//建立一个无向网图的邻接矩阵表示
void CreateGraph(Graph *g)
{
int i, j, k, w;char p,q;
printf("输入顶点数和边数:\n");
scanf("%d,%d", &(g->numVertexes), &(g->numEdges));
printf("输入顶点信息标识:\n");
for(i = 0; i < g->numVertexes; i++){//读入顶点信息，建立顶点表
g->vexs[i] = getchar();
while(g->vexs[i] == '\n')
g->vexs[i] = getchar();
}
//邻接矩阵初始化
for(i = 0; i < g->numEdges; i++)
for(j = 0; j < g->numEdges; j++)
g->arc[i][j] = INFINITY;
//读入边，建立邻接矩阵
printf("输入边(vi,vj)上的下标i，下标j和权值:\n");
for(k = 0; k < g->numEdges; k++)
{
scanf("%c,%c,%d",&p,&q,&w);
int m = locates(g,p);
int n = locates(g,q);
if(-1==m || -1==n){
cout<<"输入边不存在！"<<endl;
return;
}
g->arc[m][n] = w;
g->arc[n][m] = g->arc[m][n]; //因为是无向图，矩阵对称
}
}
//打印图邻接矩阵
void printGraph(Graph g)
{
int i, j;
for(i = 0; i<g.numVertexes; i++)
{
printf("%c \n",g.vexs[i]);
for(j = 0; j<g.numVertexes; j++)
{
printf("%d ",g.arc[i][j]);
}
printf("\n");
}
}从代码中可以得到，n个顶点和e条边的无向网图的创建，时间复杂度为O(n + n2 + e)，其中对邻接矩阵Grc的初始化耗费了O(n2)的时间。
（2）邻接表
邻接矩阵是不错的一种图存储结构，但是，对于边数相对顶点较少的图，这种结构存在对存储空间的极大浪费。因此，找到一种数组与链表相结合的存储方法称为邻接表。
邻接表的处理方法是这样的：
1. 图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过，数组可以较容易的读取顶点的信息，更加方便。
2. 图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以，用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表，有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表。
例如，下图就是一个无向图的邻接表的结构。
从图中可以看出，顶点表的各个结点由data和firstedge两个域表示，data是数据域，存储顶点的信息，firstedge是指针域，指向边表的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点。边表结点由adjvex和next两个域组成。adjvex是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标，next则存储指向边表中下一个结点的指针。
对于带权值的网图，可以在边表结点定义中再增加一个weight的数据域，存储权值信息即可。如下图所示。
#define MAXVEX 1000 //最大顶点数
typedef char VertexType; //顶点类型应由用户定义
typedef int EdgeType; //边上的权值类型应由用户定义
typedef struct EdgeNode //边表结点
{
int adjvex; //邻接点域，存储该顶点对应的下标
EdgeType weigth; //用于存储权值，对于非网图可以不需要
struct EdgeNode *next; //链域，指向下一个邻接点
}EdgeNode;
typedef struct VertexNode //顶点表结构
{
VertexType data; //顶点域，存储顶点信息
EdgeNode *firstedge; //边表头指针
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];
typedef struct
{
AdjList adjList;
int numVertexes, numEdges; //图中当前顶点数和边数
}GraphList;
int Locate(GraphList *g, char ch)
{
int i;
for(i = 0; i < MAXVEX; i++)
{
if(ch == g->adjList[i].data)
{
break;
}
}
if(i >= MAXVEX)
{
fprintf(stderr,"there is no vertex.\n");
return -1;
}
return i;
}
//建立图的邻接表结构
void CreateGraph(GraphList *g)
{
int i, j, k;
EdgeNode *e;
EdgeNode *f;
printf("输入顶点数和边数:\n");
scanf("%d,%d", &g->numVertexes, &g->numEdges);
//输入顶点信息
for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
{
printf("请输入顶点%d:\n", i);
g->adjList[i].data = getchar();
g->adjList[i].firstedge = NULL; //将边表置为空表
while(g->adjList[i].data == '\n')
{
g->adjList[i].data = getchar();
}
}
//建立边表
for(k = 0; k < g->numEdges; k++)
{
printf("输入边(vi,vj)上的顶点序号:\n");
char p, q;
p = getchar();
while(p == '\n')
{
p = getchar();
}
q = getchar();
while(q == '\n')
{
q = getchar();
}
int m, n;
m = Locate(g, p);
n = Locate(g, q);
if(m == -1 || n == -1)
{
return;
}
//向内存申请空间，生成边表结点
e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
if(e == NULL)
{
fprintf(stderr, "malloc() error.\n");
return;
}
//邻接序号为j
e->adjvex = n;
//头插法在头结点处插入e，标示m-n有边
e->next = g->adjList[m].firstedge;
g->adjList[m].firstedge = e;
//对应的n-m也有边
f = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
if(f == NULL)
{
fprintf(stderr, "malloc() error.\n");
return;
}
f->adjvex = m;
f->next = g->adjList[n].firstedge;
g->adjList[n].firstedge = f;
}
}
void printGraph(GraphList *g)
{
int i = 0;
while(g->adjList[i].firstedge != NULL && i < MAXVEX)
{
printf("顶点:%c ", g->adjList[i].data);
EdgeNode *e = NULL;
e = g->adjList[i].firstedge;
while(e != NULL)
{
printf("%d ", e->adjvex);
e = e->next;
}
i++;
printf("\n");
}
}对于无向图，一条边对应都是两个顶点，所以，在循环中，插入是同时进行的。m-n有一条边，n-m也有一条边。且由于是无向图，不用对权值域做处理，事实上对于非网图都不需要对权值做处理。本算法的时间复杂度，对于n个顶点e条边来说，很容易得出是O(n+e)。
（3）十字链表（有向图存储结构优化）
对于有向图来说，邻接表是有缺陷的。关心了出度问题，想了解入度就必须要遍历整个图才知道，反之，逆邻接表解决了入度却不了解出度情况。下面介绍的这种有向图的存储方法：十字链表，就是把邻接表和逆邻接表结合起来的。重新定义顶点表结点结构，如下所示。
其中firstin表示入边表头指针，指向该顶点的入边表中第一个结点，firstout表示出边表头指针，指向该顶点的出边表中的第一个结点。重新定义边表结构，如下所示。
其中，tailvex是指弧起点在顶点表的下表，headvex是指弧终点在顶点表的下标，headlink是指入边表指针域，指向终点相同的下一条边，taillink是指边表指针域，指向起点相同的下一条边。如果是网，还可以增加一个weight域来存储权值。
比如下图，顶点依然是存入一个一维数组，实线箭头指针的图示完全与邻接表相同。就以顶点v0来说，firstout指向的是出边表中的第一个结点v3。所以，v0边表结点hearvex = 3，而tailvex其实就是当前顶点v0的下标0，由于v0只有一个出边顶点，所有headlink和taillink都是空的。
重点需要解释虚线箭头的含义。它其实就是此图的逆邻接表的表示。对于v0来说，它有两个顶点v1和v2的入边。因此的firstin指向顶点v1的边表结点中headvex为0的结点，如上图圆圈1。接着由入边结点的headlink指向下一个入边顶点v2，如上图圆圈2。对于顶点v1，它有一个入边顶点v2，所以它的firstin指向顶点v2的边表结点中headvex为1的结点，如上图圆圈3。
十字链表的好处就是因为把邻接表和逆邻接表整合在一起，这样既容易找到以v为尾的弧，也容易找到以v为头的弧，因而比较容易求得顶点的出度和入度。
而且除了结构复杂一点外，其实创建图算法的时间复杂度是和邻接表相同的，因此，在有向图应用中，十字链表是非常好的数据结构模型。
（4）邻接多重表（无向图存储结构优化）
如果我们在无向图的应用中，关注的重点是顶点的话，那么邻接表是不错的选择，但如果我们更关注的是边的操作，比如对已经访问过的边做标记，或者删除某一条边等操作，邻接表就显得不那么方便了。
若要删除(V0,V2)这条边，就需要对邻接表结构中边表的两个结点进行删除操作:
因此，我们也仿照十字链表的方式，对边表结构进行改装，重新定义的边表结构如下：
其中iVex和jVex是与某条边依附的两个顶点在顶点表中的下标。iLink指向依附顶点iVex的下一条边，jLink指向依附顶点jVex的下一条边。
与邻接表相比，在邻接多重表里边，边表存放的是一条边，而不是一个顶点。
如果要删除图中的(V0,V2)这条边，只需要设定表中(V3,V0)边的jLink=NULL，并把表中(V1,V2)边的jLink=NULL即可，基本操作的实现与邻接表类似。
（5）边集数组
边集数组是利用一维数组存储图中所有边的一种方式。每个元素用来存储一条边的起点、终点（对于无向图，可选定边的任一端点为起点或终点）和权（若有的话），各边在数组中的次序可任意安排，也可根据具体要求而定。比较节省内存,对于无向图而言任意一条边只需要存储一次即可；边集数组关注的是边的集合，在此查找一个顶点的度需要扫描整个边数组，效率不高，因此它更适合对边依次进行处理的操作，不适合顶点相关的操作，如应用于Kruskal最小生成树算法。
三、图的遍历
图的遍历和树的遍历类似，希望从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程就叫图的遍历。
对于图的遍历来说，如何避免因回路陷入死循环，就需要科学地设计遍历方案，通过有两种遍历次序方案：深度优先遍历和广度优先遍历。
（1） 深度优先遍历
深度优先遍历，也有称为深度优先搜索，简称DFS。其实，就像是一棵树的前序遍历。
它从图中某个结点v出发，访问此顶点，然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。若图中尚有顶点未被访问（非连通图有多个连通分量），则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中的所有顶点都被访问到为止。
我们用邻接矩阵的方式，则代码如下所示。
//邻接矩阵的深度优先递归算法
void DFS(Graph g, int i)
{
int j;
visited[i] = TRUE;
printf("%c ", g.vexs[i]); //打印顶点，也可以其他操作
for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
{
if(g.arc[i][j] == 1 && !visited[j])
{
DFS(g, j); //对访问的邻接顶点递归调用
}
}
}
//邻接矩阵的深度遍历操作
void DFSTraverse(Graph g)
{
int i;
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
visited[i] = FALSE;//初始化所有顶点状态都是未访问过状态
}
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
if(!visited[i]) //对未访问的顶点调用DFS，若是连通图，只会执行一次
{ //非连通图会跳转到下一个连通分量（下一个未访问的顶点）
DFS(g,i);
}
}
}如果使用的是邻接表存储结构，其DFSTraverse函数的代码几乎是相同的，只是在递归函数中因为将数组换成了链表而有不同，代码如下。
//邻接表的深度递归算法
void DFS(GraphList g, int i)
{
EdgeNode *p;
visited[i] = TRUE;
printf("%c ", g->adjList[i].data);//打印顶点，也可以其他操作
p = g->adjList[i].firstedge;
while(p)
{
if(!visited[p->adjvex])
{
DFS(g, p->adjvex); //对未访问的邻接顶点递归调用
}
p = p->next;
}
}
//邻接表的深度遍历操作
void DFSTraverse(GraphList g)
{
int i;
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
visited[i] = FALSE;
}
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
if(!visited[i])//连通图只会执行一次
{
DFS(g, i);
}
}
}对比两个不同的存储结构的深度优先遍历算法，对于n个顶点e条边的图来说，邻接矩阵由于是二维数组，要查找某个顶点的邻接点需要访问矩阵中的所有元素，因为需要O(n^2)的时间。而邻接表做存储结构时，找邻接点所需的时间取决于顶点和边的数量，所以是O(n+e)。显然对于点多边少的稀疏图来说，邻接表结构使得算法在时间效率上大大提高。对于有向图而言，通道可行与否在邻接表中已经体现出来了，不可行的通道不会出现在出边表中，因此算法上没有变化。
（2） 广度优先遍历
广度优先遍历，又称为广度优先搜索，简称BFS。图的广度优先遍历就类似于树的层序遍历了。可以用队列辅助层序遍历，注意到层序遍历是不可能递归实现的。
邻接矩阵做存储结构时，广度优先搜索的代码如下。
//邻接矩阵的广度遍历算法
void BFSTraverse(Graph g)
{
int i, j;
Queue q;
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
visited[i] = FALSE;
}
InitQueue(&q);
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)//对每个顶点做循环
{
if(!visited[i]) //若是未访问过
{
visited[i] = TRUE;
printf("%c ", g.vexs[i]); //打印结点，也可以其他操作
EnQueue(&q, i); //将此结点入队列
while(!QueueEmpty(q)) //将队中元素出队列，赋值给m
{
int m;
DeQueue(&q, &m);
for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
{
//判断其他顶点若与当前顶点m存在边且未访问过
if(g.arc[m][j] == 1 && !visited[j])
{
visited[j] = TRUE;
printf("%c ", g.vexs[j]);
EnQueue(&q, j);
}
}
}
}
}
} 对于邻接表的广度优先遍历，代码与邻接矩阵差异不大， 代码如下。
//邻接表的广度遍历算法
void BFSTraverse(GraphList g)
{
int i;
EdgeNode *p;
Queue q;
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
visited[i] = FALSE;
}
InitQueue(&q);
for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
{
if(!visited[i])
{
visited[i] = TRUE;
printf("%c ", g.adjList[i].data); //打印顶点，也可以其他操作
EnQueue(&q, i);
while(!QueueEmpty(q))
{
int m;
DeQueue(&q, &m);
p = g.adjList[m].firstedge; //找到当前顶点边表链表头指针
while(p)
{
if(!visited[p->adjvex]) //若此顶点未被访问
{
visited[p->adjvex] = TRUE;
printf("%c ", g.adjList[p->adjvex].data);
EnQueue(&q, p->adjvex);//将此顶点入队列
}
p = p->next;//指针指向下一个邻接点
}
}
}
}
}对比图的深度优先遍历与广度优先遍历算法，会发现，它们在时间复杂度上是一样的，不同之处仅仅在于对顶点的访问顺序不同。可见两者在全图遍历上是没有优劣之分的，只是不同的情况选择不同的算法。
一般而言，DFS适合找到目标为主要目的的情况，BFS适合不断扩大遍历范围时找到相对最优解的情况。
本文部分参考自：http://blog.chinaunix.net/uid-26548237-id-3483650.html
